ForHosting KIT · الرياضيات

تحليل الأعداد الصحيحة الغاوسية

حلّل أي عدد صحيح غاوسي غير صفري إلى أعداد أولية غاوسية: العدد 5 يصبح −i · (1+2i) · (2+i)، مع الوحدة والأسس والمعايير. وتُعامل الحالة 1 + i والأعداد الأولية التي تبقى أولية والتي تنقسم بطريقة متسقة، وهذا مفيد لواجبات الجبر. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A: 5
B: 0

تحصل على

العدد الصحيح الغاوسي: 5 -i
النظيم: 25
الوحدة (الجزء الحقيقي): 0
الوحدة (الجزء التخيلي): ‎-1

الأعداد الصحيحة الغاوسية هي أعداد مركبة a + bi جزآها الحقيقي والتخيلي أعداد صحيحة عادية. وكما يتحلل كل عدد صحيح إلى أعداد أولية نسبية بشكل فريد، يتحلل كل عدد صحيح غاوسي غير صفري إلى أعداد أولية غاوسية بشكل فريد باستثناء الوحدات والترتيب. تأخذ هذه الحاسبة الزوج (a, b)، وتنفّذ تحليلًا حتميًا في الحلقة Z[i]، وتعيد وحدة في {1, −1, i, −i}، وكل قاعدة أولية غاوسية في مرافق مفضّل من الربع الأول، وأسها، والمعيار المضاعف a² + b²، وسلسلة تحليل مضغوطة. استخدمها للتحقق من واجبات الأعداد الجبرية، ومراجعة عروض التشفير التي تعتمد على الأعداد الصحيحة الغاوسية، أو لتغذية أعداد أولية منظمة إلى مسار آخر دون كتابة حلقات تجربة يدويًا في Z[i]. يُرفض الصفر لأنه لا يملك تحليلًا أوليًا.

ما الذي يعيده تحليل الأعداد الأولية الغاوسية

العدد الصحيح الغاوسي عنصر من الحلقة Z[i]، يُكتب a + bi حيث a وb عددان صحيحان. المعيار المضاعف هو N(a + bi) = a² + b²، وهو عدد صحيح عادي غير سالب يضرب تحت الجداءات. وحدات Z[i] هي بالضبط 1 و−1 وi و−i — عناصر المعيار واحد.

يكون العدد الصحيح الغاوسي غير الوحدة π أوليًا في Z[i] عندما لا يمكن كتابته جداء لغير وحدتين. نظرية البنية كلاسيكية: العدد الأولي النسبي 2 يتفرع كوحدة مضروبة في (1 + i) مربعة؛ وكل عدد أولي نسبي p ≡ 3 (mod 4) يبقى أوليًا (خاملًا) في Z[i]؛ وكل عدد أولي نسبي p ≡ 1 (mod 4) ينشطر جداءً لعددين أوليين غاوسيين مترافقين معياريهما p، ويُستعادان بكتابة p مجموع مربعين.

لذا يختزل تحليل a + bi إلى تحليل معياره في الأعداد الصحيحة العادية، ورفع كل أولي نسبي إلى Z[i]، واستخراج الأعداد الأولية الغاوسية المطابقة بالقسمة الدقيقة.

أين تفيد الأعداد الأولية الغاوسية المنظمة

تقدّم مقررات الجبر ونظرية الأعداد Z[i] مباشرة بعد التحليل الفريد في الأعداد الصحيحة العادية، ويحتاج الطلاب إلى عرافة موثوقة تفصل الوحدات عن الأعداد الأولية وتعامل 1 + i والأعداد الأولية الخاملة المطابقة لثلاثة بمقاس أربعة والأعداد الأولية المنشطرة المطابقة لواحد بمقاس أربعة باتساق. يمكن لعروض التشفير التي توضح المثاليات أو المعايير أو أمثلة شبكات بسيطة على Z[i] أن تعرض العوامل الأولية لعنصر تحدٍ دون إقامة نظام جبر حاسوبي كامل. يمكن لدفاتر البحث والمسارات الآلية أن تربط هذا المخرج بحسابات القاسم المشترك الأعظم أو مولّدات المثاليات أو معادلات المعيار.

حالات الاستخدام

واجبات وامتحانات الجبر

تحقق من تحليلات الطلاب للقيمة a+bi إلى أعداد أولية غاوسية، بما في ذلك الوحدات والحالة الخاصة لقوى 1+i.

تصحيح تلقائي للمسابقات وLMS

صحّح بنود تحليل الأعداد الصحيحة الغاوسية بعرافة حتمية ترفض الصفر وتعيد قوى أولية مرتبة.

دفاتر وعروض تشفير

غذِّ أعدادًا أولية منظمة من Z[i] في معادلات المعيار أو أمثلة المثاليات أو مخططات تشفير صفية دون تثبيت CAS.

الأسئلة الشائعة

كيف أحلل عددًا صحيحًا غاوسيًا a + bi؟

أرسل الصحيحين a وb (الجزأين الحقيقي والتخيلي). تسرد الاستجابة وحدة في {1,−1,i,−i} وقوى أولية غاوسية بأسس والمعيار a²+b² وسلسلة تحليل.

لماذا يُرفض الصفر؟

عنصر الصفر في Z[i] لا يملك تحليلًا أوليًا.

كيف تُكتب الأعداد الأولية الغاوسية في النتيجة؟

يُختزل كل أولي إلى مرافق مفضّل في الربع الأول (جزء حقيقي موجب وجزء تخيلي غير سالب متى أمكن). يمتص حقل unit منفصل الوحدة المتبقية حتى يعيد الجداء بناء a+bi بدقة.

ما الفرق عن التحليل الأولي العادي؟

يعمل التحليل الأولي العادي في Z. تعمل هذه الأداة في Z[i]: قد يصبح الاثنان قوة للعدد 1+i، وتنشطر الأعداد الأولية ≡ 1 (mod 4) أزواجًا مترافقة، وتبقى الأعداد الأولية ≡ 3 (mod 4) أولية.

كيف يتحلل العدد 5 في الأعداد الصحيحة الغاوسية؟

يُكتب العدد 5 على الشكل −i · (1+2i) · (2+i). لكل من العاملين معيار قدره 5، والوحدة −i تجعل الناتج مضبوطًا. فالعدد 5 أولي بين الأعداد الصحيحة العادية، لكنه ليس كذلك هنا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":5,"b":0}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 5,
    "b": 0
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 5,
    "b": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":5,"b":0}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":5,"b":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-factor", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 5,
  "b": 0
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.gaussian_integer_factor",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشترك المسار المجاني في المتصفح وواجهة API في الوحدة النقية ذاتها، فلا تختلف فحوصات الصف وعملاء الإنتاج على مدخل معيّن.

ما الذي يعيده تحليل الأعداد الأولية الغاوسية

يعيد هذا الطرف ذلك التحليل بشكل مستقر: وحدة مفضّلة، وأعداد أولية مرتبة حسب المعيار تصاعديًا ثم الجزأين الحقيقي والتخيلي، وكل أولي مكتوب في الربع الأول (جزء تخيلي غير سالب وجزء حقيقي موجب متى أمكن)، مع omega (قواعد أولية متمايزة) وbig_omega (التعدد الكلي) وأعلام الوحدات والأعداد الأولية الغاوسية وسلسلة تحليل مقروءة. يغذّي المسار الحتمي ذاته الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة بسعر $0.002 لكل طلب ناجح.

كيف تستدعي الحاسبة وتقرأ النتيجة

تشمل الأمثلة المركبة الخمسة المساوية لوحدة مضروبة في (1 + 2i) مضروبة في (2 + i)، والاثنين المساويين لوحدة مضروبة في (1 + i) مربعة، والثلاثة الذي يبقى أوليًا كالأولي النسبي الخامل ثلاثة. أرسل كائن JSON بحقلين صحيحين إلزاميين: a (الجزء الحقيقي) وb (الجزء التخيلي). تُقبل الأسماء البديلة real أو re للقيمة a، وimag أو im للقيمة b. يجوز أن يكون كل جزء عددًا صحيحًا JSON أو سلسلة عشرية بسيطة بلا فواصل أو مسافات أو ترميز علمي، ويجب أن يبقى كل قيمة مطلقة ضمن مليون حتى تظل القسمة التجريبية على المعيار عملية. يُرفض الزوج (0, 0) برمز invalid_input ولا يُحاسب أبدًا، لأن الصفر لا يملك تحليلًا أوليًا في Z[i]. تنجح وحدات مثل 1 و−1 وi و−i بمصفوفة factors فارغة وis_unit true والوحدة ذاتها في الحقل unit. عند النجاح يعيد الجسم a وb وسلسلة غاوسية مضغوطة مثل 3+4i والمعيار العشري وunit وunit_re/unit_im ومصفوفة factors مرتبة من كائنات تحوي re وim وprime وexponent وnorm، إضافة إلى omega وbig_omega وfactorization وis_unit وis_prime. يكون is_prime true تمامًا عندما توجد قاعدة أولية واحدة بأس واحد (المدخل مرافق لعدد أولي غاوسي). لا يستهلك التحقق الفاشل الرصيد أبدًا؛ ولا تُحاسب إلا التحليلات الناجحة بالسعر المنشور $0.002.

أين تفيد الأعداد الأولية الغاوسية المنظمة

تستفيد مسائل المسابقات وحكام البرمجة التي تطلب التحليل في الأعداد الصحيحة الغاوسية من عقد JSON مستقر بايتًا ببايت بدل سلسلة حرة يجب على المصحح تفسيرها يدويًا. ولأن الخوارزمية parse نقي من المستوى A — بلا نداءات شبكة ولا عشوائية ولا اعتماد على ساعة الجدار — فإن المدخلات المتطابقة تعيد دائمًا JSON ذاته، فيبقى صدق الأمثلة الذهبية ويتوافق ودجت المتصفح المجاني مع API. استخدم مسار المتصفح للاستكشاف التفاعلي وواجهة API عندما يحتاج خلفية أو دفتر ملاحظات أو مهمة دفعات إلى تحليل كثير من الأعداد الصحيحة الغاوسية تحت رصيد KIT مدفوع مسبقًا واحد دون اشتراك.

أسئلة تقنية

هل حاسبة تحليل الأعداد الصحيحة الغاوسية مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل طلب ناجح؛ ولا يُحاسب المدخل غير الصالح.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما الذي يعيده تحليل الأعداد الأولية الغاوسية

أين تفيد الأعداد الأولية الغاوسية المنظمة

حالات الاستخدام

واجبات وامتحانات الجبر

تصحيح تلقائي للمسابقات وLMS

دفاتر وعروض تشفير

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الذي يعيده تحليل الأعداد الأولية الغاوسية

كيف تستدعي الحاسبة وتقرأ النتيجة

أين تفيد الأعداد الأولية الغاوسية المنظمة

أسئلة تقنية

شكرًا