Calculadora de parte poderosa
Separa qualquer inteiro positivo em seu maior divisor poderoso e um cofator livre de quadrados: 12 vira 4 × 3, porque o 2 aparece ao quadrado e o 3 só uma vez. As duas partes sempre multiplicam n e não têm primos em comum. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 12
- Parte potente
- 4
- Cofator livre de quadrados
- 3
Todo inteiro positivo se fatora de forma única em primos elevados a potências, e essas potências caem em dois grupos claros. Expoentes de dois ou mais constroem um número poderoso: se um primo divide essa parte, o seu quadrado também divide. Expoentes iguais a um formam um cofator livre de quadrados, produto de primos distintos sem fator quadrado. Esta calculadora de parte poderosa recebe um único inteiro positivo n, decompõe-no por divisão de prova e devolve o maior divisor poderoso junto com o cofator livre de quadrados complementar, de modo que n é o produto deles com mdc um.
O que significam a parte poderosa e o cofator livre de quadrados
Um inteiro positivo m chama-se poderoso (também squarefull) quando todo primo que divide m também divide m à segunda potência: se p divide m, então p ao quadrado divide m. De forma equivalente, na fatoração prima de m todo expoente é pelo menos dois, de modo que m nunca é divisível por um primo só à primeira potência.
Exemplos clássicos são um (vacuamente), quatro, oito, nove; doze não é poderoso por causa do fator três isolado, enquanto trinta e seis é dois ao quadrado vezes três ao quadrado e é poderoso. Um inteiro positivo é livre de quadrados quando não é divisível por nenhum quadrado perfeito diferente de um, ou seja, todo expoente na sua fatoração é zero ou um — produtos de primos distintos como seis, dez, quinze, ou um único primo. Dado qualquer n maior ou igual a um, escreva n como produto de potências primas.
Reúna toda potência cujo expoente seja pelo menos dois na parte poderosa; reúna todo primo que aparece com expoente exatamente um no cofator livre de quadrados. O produto das duas peças recupera n, elas são sempre coprimas, e a parte poderosa é precisamente o maior divisor poderoso de n. Quando n próprio é poderoso o cofator livre de quadrados é um; quando n é livre de quadrados a parte poderosa é um; quando n é um ambas as peças são um.
Esta decomposição é única e é a forma padrão com que manuais e sequências OEIS separam o núcleo squarefull de um inteiro dos primos que só aparecem uma vez.
Onde a separação poderosa–livre de quadrados agrega valor
Tarefas de sala de aula e problemas de programação competitiva costumam perguntar se um inteiro é poderoso, livre de quadrados ou nenhum dos dois, ou precisam do maior divisor squarefull antes de aplicar fórmulas de Möbius, radical ou abundância. Demonstrações de criptografia e cadernos de teoria dos números usam a separação para ilustrar que todo n é produto de um núcleo squarefull e uma casca livre de quadrados com mdc um, passo para módulos livres de quadrados e ordens poderosas em grupos multiplicativos.
Sites de conteúdo que ranqueiam por calculadora de parte poderosa ou cofator livre de quadrados se beneficiam de uma ferramenta ao vivo cujo caminho gratuito no navegador coincide byte a byte com a automação paga no mesmo módulo puro. Validação falha não consome saldo.
Casos de uso
Verificação de tarefas e competições
Confira respostas de alunos ou de competições sobre o maior divisor poderoso e o cofator livre de quadrados complementar de qualquer inteiro positivo.
Perguntas frequentes
A calculadora de parte poderosa é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Por que n deve ser pelo menos 1?
A decomposição poderosa–livre de quadrados é definida para inteiros positivos.
Quando a parte poderosa é igual a n?
Exatamente quando n é poderoso: todo expoente primo é pelo menos dois (ou n é 1).
Qual é a parte poderosa de 360?
É 72, com cofator livre de quadrados 5. 360 se fatora como 2 ao cubo vezes 3 ao quadrado vezes 5, então o cubo e o quadrado vão para a parte poderosa e o 5 isolado fica de fora.
Que resultado dá um número primo?
Um primo como 17 tem parte poderosa 1 e cofator livre de quadrados 17, porque seu único primo aparece uma só vez. O mesmo acontece com qualquer produto de primos distintos.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 12
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.powerful_part",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Estudantes usam-na para conferir exercícios sobre números squarefull; programadores de competição alimentam a separação estruturada em pipelines de radical, abundância ou Möbius; e cadernos obtêm um contrato JSON determinístico grátis no navegador ou a US$ 0,002 por chamada API bem-sucedida, sem cobrar entrada inválida.
Como chamar a calculadora e ler o resultado
Internamente o motor valida o inteiro, fatora-o retirando os doses e percorrendo divisores ímpares de prova até a raiz quadrada do resto, e separa cada potência prima segundo o expoente. Exemplo: n igual a doze fatore-se como dois ao quadrado vezes três, logo a parte poderosa é quatro e o cofator livre de quadrados é três. Exemplo: n igual a trezentos e sessenta fatore-se como dois ao cubo vezes três ao quadrado vezes cinco, logo a parte poderosa é setenta e dois e o cofator é cinco. Exemplo: um primo como dezessete rende parte poderosa um e cofator dezessete. Envie um objeto JSON com um único campo obrigatório n — um inteiro seguro de JavaScript ou uma string decimal inteira sem vírgulas, espaços, notação científica ou zeros à esquerda além do próprio zero. Os valores devem ser inteiros pelo menos um; zero, negativos, frações, Infinity e NaN falham com invalid_input e nunca são cobrados. Os aliases number e value são aceitos por conveniência. A carga de sucesso ecoa n, informa powerful_part e squarefree_cofactor como inteiros, define is_powerful como true exatamente quando o cofator livre de quadrados é um, define is_squarefree como true exatamente quando a parte poderosa é um, lista o array ordenado factors de pares base e expoente, e inclui uma string formula curta que reafirma a regra de separação. Permaneça no intervalo de inteiros seguros para que todo produto fique exato em inteiros duplos IEEE; fora desse limite o pedido falha de imediato em vez de inventar fatores arredondados.
Onde a separação poderosa–livre de quadrados agrega valor
Alimentar os campos estruturados powerful_part e squarefree_cofactor no passo seguinte evita refatorar e permite que testes fixem inteiros exatos em vez de strings opacas. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Casos de integração
Pipelines de teoria dos números
Emita powerful_part e squarefree_cofactor como inteiros estruturados para helpers de radical, Möbius, abundância ou módulo livre de quadrados.
Demonstrações em aula de números poderosos
Mostre que n se fatore como núcleo squarefull vezes um produto de primos distintos com um widget determinístico ao vivo e API equivalente.
Perguntas técnicas
Como decompor um inteiro em parte poderosa e cofator livre de quadrados?
Faça POST de um objeto com o campo n igual a um inteiro ≥ 1. A resposta devolve powerful_part, squarefree_cofactor, is_powerful, is_squarefree, a lista ordenada de fatores e uma string formula.
O resultado é determinístico entre navegador e API?
Sim. A mesma rotina pura de divisão de prova alimenta ambos os caminhos, de modo que entradas idênticas produzem JSON idêntico sem rede nem aleatoriedade.