Mächtiger-Teil-Rechner
Teilt jede positive ganze Zahl in ihren größten mächtigen Teiler und einen quadratfreien Kofaktor: Aus 12 wird 4 × 3, weil die 2 im Quadrat und die 3 nur einmal vorkommt. Beide Teile ergeben zusammen immer n und teilen keine Primzahl. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 12
- Mächtiger Anteil
- 4
- Quadratfreier Kofaktor
- 3
Jede positive ganze Zahl zerfällt eindeutig in Primzahlen mit Exponenten, und diese Exponenten fallen in zwei klare Gruppen. Exponenten von zwei oder mehr bilden eine mächtige Zahl: teilt eine Primzahl diesen Teil, so teilt auch ihr Quadrat ihn. Exponenten gleich eins bilden einen quadratfreien Kofaktor, ein Produkt verschiedener Primzahlen ohne quadratischen Faktor. Dieser Rechner für den mächtigen Teil nimmt eine einzige positive ganze Zahl n, zerlegt sie per Probedivision und liefert den größten mächtigen Teiler zusammen mit dem komplementären quadratfreien Kofaktor, sodass n ihr Produkt mit ggT eins ist.
Was mächtiger Teil und quadratfreier Kofaktor bedeuten
Eine positive ganze Zahl m heißt mächtig (auch squarefull), wenn jede Primzahl, die m teilt, m auch zur zweiten Potenz teilt: teilt p m, so teilt p im Quadrat m. Gleichwertig sind in der Primfaktorzerlegung von m alle Exponenten mindestens zwei, sodass m nie nur zur ersten Potenz durch eine Primzahl teilbar ist. Klassische Beispiele sind eins (vakuum), vier, acht, neun; zwölf ist wegen des einzelnen Faktors drei nicht mächtig, während sechsunddreißig zwei im Quadrat mal drei im Quadrat ist und mächtig ist.
Eine positive ganze Zahl ist quadratfrei, wenn sie durch kein echtes Quadrat außer eins teilbar ist, das heißt, jeder Exponent in ihrer Zerlegung ist null oder eins — Produkte verschiedener Primzahlen wie sechs, zehn, fünfzehn oder eine einzelne Primzahl. Schreiben Sie für jedes n größer oder gleich eins n als Produkt von Primzahlpotenzen. Sammeln Sie jede Potenz mit Exponent mindestens zwei im mächtigen Teil; sammeln Sie jede Primzahl mit Exponent genau eins im quadratfreien Kofaktor.
Das Produkt beider Stücke ergibt n, sie sind stets teilerfremd, und der mächtige Teil ist genau der größte mächtige Teiler von n. Ist n selbst mächtig, so ist der quadratfreie Kofaktor eins; ist n quadratfrei, so ist der mächtige Teil eins; ist n eins, so sind beide Stücke eins. Diese Zerlegung ist eindeutig und die übliche Art, wie Lehrbücher und OEIS-Folgen den squarefull-Kern einer Zahl von den nur einmal auftretenden Primzahlen trennen.
Wo die Zerlegung mächtig–quadratfrei ihren Nutzen zeigt
Klassenarbeiten und Wettbewerbsaufgaben fragen oft, ob eine Zahl mächtig, quadratfrei oder keines von beiden ist, oder brauchen den größten squarefull-Teiler vor Möbius-, Radical- oder Abundanzformeln. Kryptografie-Demos und Zahlentheorie-Notebooks nutzen die Zerlegung, um zu zeigen, dass jedes n Produkt eines squarefull-Kerns und einer quadratfreien Hülle mit ggT eins ist — ein Schritt zu quadratfreien Moduln und mächtigen Ordnungen in multiplikativen Gruppen. Content-Seiten, die für Rechner mächtiger Teil oder quadratfreier Kofaktor ranken, profitieren von einem Live-Werkzeug, dessen kostenloser Browser-Pfad bytegleich mit dem bezahlten Automatisierungspfad auf demselben reinen Modul läuft.
Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Wettbewerbsprüfung
Prüfen Sie Schüler- oder Wettbewerbsantworten zum größten mächtigen Teiler und zum komplementären quadratfreien Kofaktor jeder positiven ganzen Zahl.
Häufige Fragen
Warum muss n mindestens 1 sein?
Die Zerlegung mächtig–quadratfrei ist für positive ganze Zahlen definiert.
Wann ist der mächtige Teil gleich n?
Genau dann, wenn n mächtig ist: jeder Primexponent ist mindestens zwei (oder n ist 1).
Was ist der mächtige Teil von 360?
Er beträgt 72, der quadratfreie Kofaktor ist 5. 360 ist 2 hoch drei mal 3 im Quadrat mal 5, also gehören Kubus und Quadrat zum mächtigen Teil, während die einzelne 5 außen vor bleibt.
Was ergibt eine Primzahl?
Eine Primzahl wie 17 hat den mächtigen Teil 1 und den quadratfreien Kofaktor 17, weil ihr einziger Primfaktor nur einmal vorkommt. Dasselbe gilt für jedes Produkt verschiedener Primzahlen.
Was unterscheidet mächtige und quadratfreie Zahlen?
In einer mächtigen Zahl kommt jede Primzahl mindestens im Quadrat vor, etwa bei 36. In einer quadratfreien Zahl kommt jede Primzahl nur einmal vor, etwa bei 6, 10 oder 15. Der Rechner trennt genau diese beiden Anteile.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 12
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 12
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":12}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/powerful-part", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 12
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.powerful_part",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Lernende prüfen damit Hausaufgaben zu squarefull-Zahlen; Wettbewerbsprogrammierer speisen die strukturierte Zerlegung in Radical-, Abundanz- oder Möbius-Pipelines; und Notebooks erhalten einen deterministischen JSON-Vertrag kostenlos im Browser oder zu $0.002 pro erfolgreichem API-Aufruf, ohne ungültige Eingaben zu belasten.
Wie Sie den Rechner aufrufen und das Ergebnis lesen
Intern validiert die Engine die Zahl, faktorisiert sie durch Abziehen der Zweien und anschließendes Abschreiten ungerader Probedivisoren bis zur Quadratwurzel des Rests und trennt jede Primzahlpotenz nach ihrem Exponenten. Beispiel: n gleich zwölf faktorisiert als zwei im Quadrat mal drei, also ist der mächtige Teil vier und der quadratfreie Kofaktor drei. Beispiel: n gleich dreihundertsechzig faktorisiert als zwei im Kubus mal drei im Quadrat mal fünf, also ist der mächtige Teil zweiundsiebzig und der Kofaktor fünf. Beispiel: eine Primzahl wie siebzehn liefert mächtigen Teil eins und Kofaktor siebzehn. Senden Sie ein JSON-Objekt mit einem einzigen Pflichtfeld n — eine sichere JavaScript-Ganzzahl oder eine reine dezimale Ganzzahlzeichenkette ohne Kommas, Leerzeichen, wissenschaftliche Notation oder führende Nullen jenseits der Null selbst. Werte müssen ganze Zahlen mindestens eins sein; null, Negative, Brüche, Infinity und NaN scheitern mit invalid_input und werden nie berechnet. Alias-Feldnamen number und value werden der Bequemlichkeit halber akzeptiert. Die Erfolgsantwort spiegelt n, meldet powerful_part und squarefree_cofactor als Ganzzahlen, setzt is_powerful genau dann auf true, wenn der quadratfreie Kofaktor eins ist, setzt is_squarefree genau dann auf true, wenn der mächtige Teil eins ist, listet das geordnete factors-Array aus Basis- und Exponentenpaaren und enthält eine kurze formula-Zeichenkette mit der Trennregel. Bleiben Sie im sicheren Ganzzahlbereich, damit jedes Produkt in IEEE-Doppel-Ganzzahlen exakt bleibt; jenseits dieser Grenze scheitert die Anfrage sofort statt gerundete Faktoren zu erfinden.
Wo die Zerlegung mächtig–quadratfrei ihren Nutzen zeigt
Das Einspeisen der strukturierten Felder powerful_part und squarefree_cofactor in den nächsten Schritt vermeidet erneutes Faktorisieren und lässt Unit-Tests exakte Ganzzahlen statt undurchsichtiger Zeichenketten fixieren. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Zahlentheoretische Pipelines
Geben Sie powerful_part und squarefree_cofactor als strukturierte Ganzzahlen für Radical-, Möbius-, Abundanz- oder quadratfreie-Modul-Helfer aus.
Unterrichtsdemos zu mächtigen Zahlen
Zeigen Sie, dass n als squarefull-Kern mal Produkt verschiedener Primzahlen zerfällt — mit live deterministischem Widget und passender API.
Technische Fragen
Wie zerlegt man eine ganze Zahl in mächtigen Teil und quadratfreien Kofaktor?
Senden Sie per POST ein Objekt mit Feld n als ganze Zahl ≥ 1. Die Antwort liefert powerful_part, squarefree_cofactor, is_powerful, is_squarefree, die geordnete Faktorenliste und eine formula-Zeichenkette.
Ist der Rechner für den mächtigen Teil kostenlos?
Das Browser-Werkzeug läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.
Ist das Ergebnis zwischen Browser und API deterministisch?
Ja. Dieselbe reine Probedivisionsroutine speist beide Pfade, sodass identische Eingaben identisches JSON ohne Netz und ohne Zufall erzeugen.