数学

5を異なる部分に分ける方法は5、4+1、3+2の3通りです。0から5000までの整数を入れると、相異なる部分への分割の個数が、何桁になっても正確に分かります。ブラウザで無料で使えます。

17 + 9i を 4 − 3i で割ると、商は 2 + 3i、余りは 3i で、余りのノルム9は除数のノルム25より小さくなります。任意のガウス整数について、この余り付きの正確な割り算を行います。ブラウザで無料で使えます。

0でないガウス整数をガウス素数に分解します。5は −i · (1+2i) · (2+i) となり、単数、指数、ノルムも一覧で分かります。1 + i や、素数のまま残る素数、分解する素数も一貫して扱えるので、代数の課題の確認に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

10は 3 + 7 と 5 + 5 の2通りに素数の和で表せるので、ゴールドバッハ分割の数は2です。4から一千万までの偶数を入力すると、この組の数を求めます。順序を入れ替えた組は1つとして数えます。ブラウザで無料で使えます。

310は2² + 9² + 15²と表せ、結果にはこの3つの数と検算済みの等式が表示されます。7や28のように決して3つの平方数の和にならない数は、すぐにその旨が示されます。ブラウザで無料で使えます。

65を2つの平方数の和で表す方法は、順序と符号を区別すると16通りあり、結果は16です。0以上の整数を入力すると、組を1つずつ探さずに素因数から正確な個数を求めます。ブラウザで無料で使えます。

平方数で表すと、30は収まる最大の平方を順に取って25 + 4 + 1、つまり5² + 2² + 1²になります。数と2以上の指数を選ぶと、各項と元の数に一致する和が分かります。ブラウザで無料で使えます。

2つのベクトルがどれだけ同じ向きを指しているかを、正反対の-1から完全に同じ向きの1までで表します。長さは影響しないため、1, 2, 3と10, 20, 30は満点の1になり、文章や評価、アンケートの比較に向いています。ブラウザで無料で使えます。

添字5のカレン数は161です。5 × 32 + 1 = 161になるからです。0以上の整数の添字を入れると、どれほど長くなっても全桁が正確な項がそのまま得られます。ブラウザで無料で使えます。

69から始めると、各桁の階乗和のチェーンは値が繰り返す前に5つの異なる値を通ります。最初の段階は6! + 9! = 363600です。0以上の整数を入れると、チェーンの長さがすぐに分かります。ブラウザで無料で使えます。

145は1! + 4! + 5!、つまり1 + 24 + 120の和がちょうど145に戻るのでファクトリオンです。正の整数を入力すると、各桁の階乗と合計、そして判定がはっきり分かります。ブラウザで無料で使えます。

添字を入力すると、フェルマー数 2^(2^n)+1 を全桁で表示します。添字0なら3、添字4なら65537です。桁数と指数 2^n も一緒に分かるので、整数論の授業や数学オリンピックの練習に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

正の整数が数字1だけで書かれているかを判定します。111は3桁のレピュニットで、(10^3 − 1)/9と等しくなります。各桁の一覧も表示されるので、合否の理由がはっきり分かります。ブラウザで無料で使えます。

1260はヴァンパイア数です。21 × 60 = 1260であり、21と60の数字はちょうど1、2、6、0だからです。偶数桁の数を入力すると、該当するかどうかと牙の組がすべて分かります。ブラウザで無料で使えます。

23は加法素数です。23は素数で、各桁の和5も素数だからです。2以上の整数を入力すると2つの判定が並んで表示され、どちらの条件で外れたのかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

53は平衡素数です。最も近い素数は下が47、上が59で、どちらも6離れており、平均は53になります。2から1,000,000,000までの素数を入力すると、両隣、平均、判定が分かります。ブラウザで無料で使えます。

素数の各桁をどう並べ替えても素数のままかを調べます。113は、桁の異なる並べ方3通りがすべて素数なので条件を満たします。満たさない場合は、最初に見つかった合成数の並びを表示します。10桁まで使えます。ブラウザで無料で使えます。

素数pが安全素数か、つまり(p − 1)/2も素数かを判定します。23はその半分の11が素数なので安全素数で、11はソフィー・ジェルマン素数になります。半分の値は常に表示されるので、自分で確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

1093はヴィーフェリッヒ素数です。2の1092乗を1093²、つまり1194649で割ると余りが1になります。素数を入力すると、その余りと、この珍しい条件を満たすかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

512はダドニー数です。各桁の和は8で、8の3乗は512になります。正の整数を入れると、桁和、完全立方数かどうか、立方根、最終的な判定が分かります。ブラウザで無料で使えます。

3はイービル数です。2進法では11で、1が2個あり、2は偶数だからです。0以上の整数を入れると、2進表記、1の個数、その個数が偶数かどうかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

12は 2 × 2 × 3 と分解でき、数字をつなげると223になります。223は素数なので、12のホームプライムは223です。2から1兆までの開始値を入力すると、すべての途中経過が分かります。ブラウザで無料で使えます。

添字を入れるだけで、その位置のリュカ数が素数かどうかが分かります。L(5)は11で2桁の素数、L(6)は18で合成数です。各値は2, 1, 3, 4, 7…から正確に計算します。ブラウザで無料で使えます。

素数の指数を入れると、Lucas–Lehmer判定で2^p − 1が素数かどうかが分かります。31なら29回の反復で剰余が0になり、素数2147483647が確かめられます。はい・いいえだけでなく正確な数も表示します。ブラウザで無料で使えます。

p、p + 2、p + 6とp、p + 4、p + 6の2つの形の素数トリプレットを上限まで一覧にします。50までには7組あり、(5, 7, 11)から(41, 43, 47)までです。上限は7から100万まで指定できます。ブラウザで無料で使えます。

918082の交互数字和は22で、11の倍数なので、この数は11で割り切れます。0以上の整数を入力すると、各桁の数字、符号付きの合計、余りが分かります。ブラウザで無料で使えます。

20は平衡三進法で1 −1 1 −1と書けます。3の3乗から3の2乗を引き、3を足して1を引くと20です。負の数を含む任意の整数を入力すると、符号付きの数字による形が見やすく区切って表示されます。ブラウザで無料で使えます。

16進法で255はFFと書き、桁の和は30、さらに15になります。数字根は15で、2ステップで到達します。2以上の基数を選ぶと、数字根、ステップ、各段階の和が分かります。ブラウザで無料で使えます。

27は等桁数です。27は2桁で、素因数分解3³も底の3と指数の3で2桁を使います。2から1兆までの整数を入れると、素因数と両方の桁数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

数の各桁を掛け合わせる操作を、1桁になるまで繰り返します。39は27、14、4と進むので、乗法的持続性は3です。途中の積をすべて一覧にし、1000桁までの数に対応します。ブラウザで無料で使えます。

t³ − 3t + 2 = 0の根は1、1、−2で、(t − 1)²(t + 2)と因数分解できます。pとqを入力すると、3つの根と判別式、カルダノの途中の値が分かります。ブラウザで無料で使えます。

y が6のとき x が4なら比例定数は24で、x が8のときの y は3と分かり、代入の手順もすべて表示されます。4人で6時間かかる作業を8人で行う場合のような問題に使えます。ブラウザで無料で使えます。

傾き2で点 (1, 3) を通る直線は y − 3 = 2(x − 1) となり、y切片は 3 − 2 × 1 で1なので、y は 2x + 1 に等しくなります。ブラウザで無料で使えます。

y = mx + b を x について解くと x = (y − b) / m となり、各演算を戻す手順も表示されます。数値を入れる必要はなく、結果は何度でも使える公式のままです。ブラウザで無料で使えます。

教科書と同じ手順で二次式を因数分解します。x² − 5x + 6は(x − 2)(x − 3)となり、解は2と3です。整数で因数分解できない場合は、そのことをはっきり示します。ブラウザで無料で使えます。

丸めた小数ではなく厳密な複素数解を求めます。x² + x + 1の判別式は−3なので、解は−1/2 + (√3/2)iと−1/2 − (√3/2)iの共役な組です。ブラウザで無料で使えます。

頂点形式の放物線を手で展開せずに一般形へ直します。2(x − 3)² − 5は2x² − 12x + 13になり、b = −2ah、c = ah² + kで求まります。ブラウザで無料で使えます。

複二次方程式を手順どおりに解きます。x²をuとおくとx⁴ − 5x² + 4 = 0はu² − 5u + 4 = 0になり、uは1と4、実数解は−2、−1、1、2の4つです。ブラウザで無料で使えます。

展開せずに頂点形式からx切片を求めます。y = (x − 2)² − 4はx軸と0と4で交わり、どちらも頂点(2, −4)から2だけ離れています。ブラウザで無料で使えます。

x³ = 8の解は1つではなく3つで、実数解2と複素数の組-1 ± i√3です。実数kを入力すると、x³ = kの3つの根を実部と虚部で確認できます。ブラウザで無料で使えます。

x^2 - 5x + 6 = 0の根の和は5、積は6で、解と係数の関係により係数から直接読み取れます。和は−b/a、積はc/aです。解の公式は必要ありません。ブラウザで無料で使えます。

6x + 5 = 20は6x = 15となり、xは正確な分数5/2になります。定数項を移し、係数で割り、答えを代入して検算します。ブラウザで無料で使えます。

直線 2x − y + 6 = 0 は y 軸と (0, 6) で交わります。一般形の3つの係数を入力すると y 切片が分かり、直線が垂直で y 軸と交わらない場合はその旨をはっきり示します。ブラウザで無料で使えます。

九去法で和や積を数秒で検算できます。答えを579とした足し算では、579を9で割った余りは3で、2つの数の余り6と6を足して9で割った余り3と一致するので合格です。余りが食い違えば答えは確実に誤りです。ブラウザで無料で使えます。

平方因子を持たないdを入力すると、Q(√−d)の正確な類数が分かります。23なら判別式は−23で類数は3、1ならガウスの有理数体で類数は1です。ブラウザで無料で使えます。

正の整数をフィボナッチ符号に変換します。6は項1と5の和なので10011になります。どの符号も11で終わるため、連続した符号を長さの情報なしで区切れます。圧縮の課題や通信方式の設計に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

ホフスタッターQ数列の第10項は6、第20項は12です。新しい項は、前の項が決める距離だけさかのぼって値を足すため、増え方が不規則になります。10万までの任意の項を求められます。ブラウザで無料で使えます。

ナラヤナの牛数列の項を、添字0から97まで求められます。N(10)は28で、各項は直前の項と3つ前の項の和、つまり19と9を足した値です。ブラウザで無料で使えます。

整数が素数で何回割り切れるかを数えます。72は8×9なので素数2を3回含み、2進付値は3、残りの部分は9です。負の数にも使えます。ブラウザで無料で使えます。

3, 0, 2で始まり、2つ前と3つ前の項を足していくペラン数列の項を求めます。P(10)は17で、10と7の和です。添字は0から130まで使えます。ブラウザで無料で使えます。

位置7は2進数で111となり1が3つあるため、チューモース系列のビットは1です。0以上の位置を入力すると、2進表記と1の個数、結果の0か1が分かります。ブラウザで無料で使えます。

下方ワイソフ数列の10番目の項は16で、数列は1、3、4、6、8と始まります。1から数えた位置を入力すると、それより前の項をすべて並べなくても、その項を正確に求められます。ブラウザで無料で使えます。

|2x − 3| < 5は−1 < x < 4、つまり区間(−1, 4)で成り立ち、大なりの場合は外側の2本の半直線になります。数と比較の種類を入力すると、解なしや全実数の場合も含めて解の集合が分かります。ブラウザで無料で使えます。

x³ − 2x² − 5x + 6 ≥ 0の解は[−2, 1] ∪ [3, ∞)です。4つの係数と不等号を入力すると、実数解、各区間の符号、解の集合がまとめて分かります。ブラウザで無料で使えます。

連立一次方程式を消去法で正確に解きます。2x + 3y = 7とx − yが1の組なら、xが消えて5y = 5が残り、交点は(2, 1)です。分数は丸めずに正確なまま扱います。ブラウザで無料で使えます。

直線y = x + 2と放物線y = x^2は(-1, 1)と(2, 4)で交わります。2つの式を等しいとおいて2次方程式を解き、判別式（ここでは9）から、2点で交わるか、接するか、交わらないかを判断します。ブラウザで無料で使えます。

2x + y < 6 なら、境界線 2x + y ＝ 6 は破線になり、解は y ＝ −2x + 6 の下側の半平面で、原点 (0, 0) がテスト点として条件を満たします。塗る前にグラフを確認できます。ブラウザで無料で使えます。

2つの整数が完全立方数かを確かめ、その差を因数分解します。125は5³、8は2³なので、125 − 8 は (5 − 2)(25 + 10 + 4) になります。ブラウザで無料で使えます。

右辺が0の2本の方程式の係数を4つ入力すると、解の全体が分かります。係数が1、2、3、4なら行列式は −2 で、x と y がともに0の解しかありません。ブラウザで無料で使えます。

多項式を別の多項式に代入し、展開した結果を求めます。f(x) = x²、g(x) = 1 + xなら、f(g(x))は1 + 2x + x²で次数は2です。各手順も表示されます。ブラウザで無料で使えます。