数学

2つの分数のどちらが大きいかを正確に判定します。3/4は2/3より大きく、1/2と2/4は同じ値なので等しいと判定されます。整数のたすき掛けで比べるため、丸めで結果が逆転することはありません。ブラウザで無料で使えます。

鋭角を直角にするために足りない角を求めます。30°の余角は60°、12.5°の余角は77.5°です。0度より大きく90度より小さい角度を入れると、対になる角がすぐに分かります。ブラウザで無料で使えます。

暗算と同じ考え方で商や積を見積もります。417÷6.1は420÷6=70となり、正確な値68.36と並べて表示されるので、答えが妥当かどうかをひと目で確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

ax² + bx + c を頂点の形に直し、放物線の様子をひと目で読み取れます。2x² − 8x + 5 は 2(x − 2)² − 3 になり、頂点は(2, −3)です。どの x でも2つの式の値は同じです。ブラウザで無料で使えます。

ax² + bx + c を頂点の形にする手順をすべて確認できます。x² + 6x + 2 は (x + 3)² − 7 になり、頂点は(−3, −7)です。6の半分の3を求め、9を足して引く流れが分かります。ブラウザで無料で使えます。

2つの複素数 a + bi の四則演算をまとめて行えます。(3 + 2i) と (1 − 4i) の積は 11 − 10i です。割り算は共役を使う正確な公式で計算し、0で割る場合は受け付けません。ブラウザで無料で使えます。

複素数を座標ではなく距離と向きで表します。3 + 4i の絶対値は5、2i は真上の90°を向き、角度はラジアンでも表示されます。実軸より下にある数では角度が負になります。ブラウザで無料で使えます。

絶対値と偏角から a + bi の形に戻します。絶対値2、偏角60度なら、実部は1、虚部は約1.732です。角度はラジアンでも度でも入力でき、別に単位を換算する手間はかかりません。ブラウザで無料で使えます。

a + bi を r(cos θ + i sin θ) の形に書き直し、そのままコピーできます。1 + i の絶対値は√2、偏角は45°で、ラジアンでも表示されます。積や累乗、累乗根は絶対値の掛け算と偏角の足し算になります。ブラウザで無料で使えます。

巨大な階乗を使わずにC(n, k)を素数で割った余りを求めます。C(1000, 200)を7で割った余りは1で、両方を7進数で書き、桁ごとの小さな二項係数を掛け合わせて計算します。各桁を表示するので、途中の計算も確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

素数を法とした数のk乗根をすべて求めます。17を法とした2の平方根は6と11で、昇順に並べて表示します。根が存在しない場合は、空の一覧ではなくはっきりした答えを返します。ブラウザで無料で使えます。

nを法として、数を何乗すると初めて1に戻るかを求めます。9を法とした2のべき乗は2, 4, 8, 7, 5, 1と進むので、位数は6です。オイラーのトーシェントと検算値も表示します。ブラウザで無料で使えます。

2の9乗を13で割ると余りは5なので、法13での底2に対する5の離散対数は9です。底、目標、法を入力すれば、法が素数でも合成数でも指数を求められます。ブラウザで無料で使えます。

法18の原始根はちょうど2個で、これはオイラーのφを2回適用した値です。法を入れると生成元の個数が分かり、8のように原始根がない場合ははっきりそう伝えます。ブラウザで無料で使えます。

複素数の n 乗根を、主値だけでなくすべて求めます。−8 の3乗根は −2 と 1 ± √3 i で、どれも絶対値は2、角度は60°、180°、300°です。根は円周上を偏角の順に並んで返ります。ブラウザで無料で使えます。

行列がデータの小さな誤差をどれだけ大きくしうるかを確かめます。行が(2, 1)と(1, 2)の行列の条件数は3で、最大特異値を最小特異値で割った値です。1に近ければ安定、百万単位なら答えは誤差に左右されます。ブラウザで無料で使えます。

直円錐のすべての面積を、半径と母線の長さから求めます。半径3、母線5なら側面積は15π、底面を含む全表面積は24πです。垂直の高さではなく母線の長さを入れてください。ブラウザで無料で使えます。

法12では、2乗しても変わらない剰余が0、1、4、9の4つあります。1兆までの法を入力すると、べき等元の完全な一覧を小さい順に返し、その個数を説明する素数べきの分解も示します。ブラウザで無料で使えます。

97は素数です。2、3、5、7、11、13、23の7つの固定基底をすべて通過し、これらは9007199254740991までのすべての整数を確実に判定できると証明されています。合成数なら、それを見抜いた最初の基底も表示します。ブラウザで無料で使えます。

ある数が素数を法としてk乗剰余かどうかを判定します。2は法7で平方剰余です。2の3乗を7で割った余りが1になるからです。平方、立方、さらに高いべきも正確な整数計算で扱います。ブラウザで無料で使えます。

奇素数を法として、決して平方にならない余りをすべて一覧にします。法7では平方は1、2、4なので、非剰余は3、5、6です。個数は常に(p − 1)/2となり、結果の確認に使えます。ブラウザで無料で使えます。

13を底2で調べると、2つの剰余がどちらも12になるため、13は底2に対する確率的素数と判定されます。一致しなければ合成数であることが証明されます。ブラウザで無料で使えます。

一般形の2次方程式の6つの係数を入れると、どの曲線になるかが分かります。たとえば x² + y² − 25 = 0 は中心 (0, 0)、判別式 −4 の円です。曲線が回転しているかどうかも示し、ブラウザで無料で使えます。

合成数でもフェルマーテストに通るかを確かめられます。341 は底2で余りが1になるため、底2のフェルマー擬素数です。最大公約数も表示されるので、整数論や素数判定の授業に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

Lucas判定をすり抜ける奇数の合成数を見つけます。Pを1、Qを−1にすると、合成数323は判定を通過し、最小のフィボナッチ偽素数になります。判別式D、ヤコビ記号、使った添字も表示します。ブラウザで無料で使えます。

素数そのものを除いて、素因数分解の形だけを示します。360 = 2³ × 3² × 5の指数の並びは[3, 2, 1]です。指数は大きい順に並ぶため、12と18はどちらも[2, 1]になります。ブラウザで無料で使えます。

ひとつの証人でプロス数k × 2^n + 1が素数であることを証明します。kが3、nが2なら数は13で、証人2の6乗は余り12、つまり法13で−1になるため、13は素数と証明されます。ブラウザで無料で使えます。

入力した数を割り切る最小の素数と、割った後に残る数を求めます。84の最小素因数は2で、余因数は42です。素因数が数そのものと等しければ、その数は素数です。ブラウザで無料で使えます。

実部と虚部を入れると共役複素数が分かります。たとえば 3 + 2i は 3 − 2i になります。複素数の割り算や絶対値の2乗を求めるときに必要な一歩で、ブラウザで無料で使えます。

目標の合計と個数を入れると、その合計になる連続した整数の並びが分かります。合計15になる3つの数は 4, 5, 6 です。推測ではなく公式で正確に求め、ブラウザで無料で使えます。

30以下で素因数がすべて5以下の数は18個あり、これが5-smooth数、つまりHamming数です。上限Bと範囲Nを入力すると、順に並んだ完全な一覧、使われる素数、個数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

82の整数平方根は9です。9の2乗は81で、10の2乗はすでに100になるからです。数十桁の数でも、0以上の整数を入力すれば、切り捨てた平方根をすべての桁まで正確に求めます。ブラウザで無料で使えます。

1からnまでのメビウス関数の和を一度で求めます。M(100)は1で、素因数の個数が偶数の平方因子なし数と奇数のものとの差を符号付きで正確に表します。nは5,000,000まで使えます。ブラウザで無料で使えます。

整数が完全立方数かどうかを判定し、整数の立方根を求めます。27は3の3乗、−8は−2の3乗で、立方数は0より小さい側にもあります。立方数でなければ、いいえと答え、それ以下で最大の整数根を示します。ブラウザで無料で使えます。

素因数pのp − 1が滑らかなとき、合成数の因数を見つけます。1003を上限16で調べると17と59に分かれます。17 − 1が16だからです。何も出なければ上限を上げてください。ブラウザで無料で使えます。

30は2 × 3 × 5と各素数が1回ずつなので平方因子を持たず、12は2の平方で割り切れるため該当しません。正の整数を入力すると、理由付きで判定が分かります。ブラウザで無料で使えます。

12のユニタリ約数は1、3、4、12で和は20ですが、すべての約数の和は28です。正の整数を入力すると、この和とその元になる素数べきが分かります。ブラウザで無料で使えます。

一方の数列をもう一方の上でずらしながら、重なった値を掛けて足し合わせます。[1, 2, 3] と [0.5, 0.5] の畳み込みは [0.5, 1.5, 2.5, 1.5] です。結果の長さは n + m − 1 で、ブラウザで無料で使えます。

2つの点の座標を入れると、2点間のまっすぐな距離が分かります。(1, 2) から (4, 6) までは、直角を挟む2辺が3と4なので、ちょうど5です。平面上の点に使え、ブラウザで無料で使えます。

36のコトーティエントは24で、1から36までのうち36と共通の因数を持つ数がその個数です。1兆までの正の整数を入れると、nからオイラーのφを引いた正確な個数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

12は高度合成数です。約数が6個あり、それより小さい数の約数は多くても4個だからです。百万までの整数を入力すると、約数の個数の新記録かどうかを、両方の個数とともに判定します。ブラウザで無料で使えます。

次数1のとき、36の Jordan トーシェントは12で、オイラーのトーシェントと同じです。次数 k を上げると、n^k に n の素因数ごとの (1 − p^−k) を掛けて求め、使った素因数分解も表示します。ブラウザで無料で使えます。

数が真の約数の和に等しいかを調べます。28は1、2、4、7、14を足すと28になるので完全数です。約数、その和、素因数分解もあわせて表示します。ブラウザで無料で使えます。

nより小さいすべての整数をnの異なる約数の和で作れるかを判定します。12は実用数で、1、2、3、4、6、12で1から12までのすべての値を作れます。作れない場合は、最初に作れない数が表示されます。ブラウザで無料で使えます。

入力した数から真の約数の和を繰り返したどり、元の数に戻るかを判定します。12496は別の4つの数を経て5ステップで自分に戻り、長さ5の社交数の輪になります。経路全体が表示されます。ブラウザで無料で使えます。

12と共通の約数を持たない12以下の数は1、5、7、11の4つです。正の整数を入力すると、個数だけでなく順に並んだ一覧全体が分かります。ブラウザで無料で使えます。

目的関数の係数と実行可能領域の頂点を入れると、どの頂点で値が最大になるかが分かります。3x + 5y を (0, 0)、(0, 4)、(3, 3)、(5, 0) で比べると、最適なのは (3, 3) で値は24です。ブラウザで無料で使えます。

分数3/2はCalkin-Wilf列の5番目で、根1/1から2段下にあります。分子と分母が1から100万までの既約分数を入力すると、正確な位置と深さが分かります。ブラウザで無料で使えます。

貪欲法では3/4は1/2 + 1/4になり、単位分数は2つ必要です。真分数を入れると、項の数と各単位分数の分母が順に表示され、すべての段階を確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

x と y を入れると、点が平面のどこにあるかが分かります。(−3.5, 2) は第2象限です。座標に0を含む点は無理に象限に入れず、軸上または原点として示します。ブラウザで無料で使えます。

ラジアンの角度を入れると、小数点以下12桁に丸めたコサインが分かります。たとえば π/3 にあたる 1.0471975511965976 は、ちょうど 0.5 になります。結果は常に −1 から 1 の間で、ブラウザで無料で使えます。

-1から1の余弦の値を入れると、その角度が分かります。0.5なら60度、ラジアンでは1.047197551197です。度とラジアンが並んで表示され、常に0〜180度の範囲なので、三角形やベクトルのなす角にそのまま使えます。ブラウザで無料で使えます。

240と46の最大公約数は2で、240×(−9)＋46×47はちょうど2になるため、xは−9、yは47です。両方が0でない2つの整数を入力すると、最大公約数と有効な係数の組が分かります。ブラウザで無料で使えます。

2種類の硬貨でちょうどの金額を作れるかが分かります。4と7の硬貨なら、23は4を4枚と7を1枚で作れます。どの組合せでも作れない場合は、そうはっきり知らせます。ブラウザで無料で使えます。

1/3と2/5の媒介分数は3/8です。分子どうしと分母どうしを別々に足し、約分しないので、新しい分数がどう作られたかがそのまま分かります。ファレイ数列やシュテルン・ブロコット木の学習に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

x² − Dy² = −1に整数解があるかを調べ、最小の解を求めます。Dが13なら答えはx 18、y 5で、周期5という奇数の連分数から見つかります。とても大きな解も正確に表示します。ブラウザで無料で使えます。

0と1のあいだの分数から正確なPierce展開の桁を求めます。2/3は1と3になり、1/1 − 1/(1·3)で3分の2が復元されます。結果には交代級数と小数の値も表示されます。ブラウザで無料で使えます。

直角をはさむ1辺を入力すると、その辺を共有する整数の直角三角形をすべて求めます。辺20には20-15-25から20-99-101まで4通りの相手があります。各組には原始的かどうかの印が付き、もう一方の辺の順に並びます。ブラウザで無料で使えます。

ラジアンの角度θを入れると、その2倍の角の余弦を、cos²θからsin²θを引く倍角の公式で求めます。θが0.7853981634（πの4分の1）なら結果はちょうど0です。度で表した角度は、先にπ/180を掛けてください。ブラウザで無料で使えます。

どんな数でも双曲線余弦を計算します。cosh(1.5)は2.352409615243247です。e^xとe^-xの平均で、垂れ下がった鎖や電線が描く曲線を表し、非常に大きな値でも有限の結果を返します。ブラウザで無料で使えます。