Pierce展開計算機
0と1のあいだの分数から正確なPierce展開の桁を求めます。2/3は1と3になり、1/1 − 1/(1·3)で3分の2が復元されます。結果には交代級数と小数の値も表示されます。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 電力（W）
- 2
- Q
- 3
- 値
- 0.6666666667
- 分数
- 2/3
- 既約化した p
- 2
- 既約化した q
- 3
0と1のあいだに厳密に位置する実数のPierce展開とは、その値を交代する単位積の和として復元する、正の整数の唯一の狭義増加列です。すなわち 1/a1 から始め、1/(a1·a2) を引き、1/(a1·a2·a3) を加え、と続きます。開単位区間内の任意の有理数は有限のPierce級数を持つため、宿題の検算・コンテスト採点・数論ノートは浮動小数の切捨てパラメータなしで正確な桁列を固定できます。本Pierce展開計算機は分子 p と非零の分母 q を受け取り、既約化した分数が 0 < p/q < 1 を満たすことを要求し、完全な桁列と読みやすい展開文字列、再構成した十進値を返します。
Pierce展開とは何か、桁はどう作られるか
Pierce展開は交代エジプト積とも呼ばれ、開単位区間の数 x を 1/a1 から 1/(a1·a2) を引き 1/(a1·a2·a3) を加える形で表し、狭義増加の正整数 a1 < a2 < a3 … が続きます。構成の精神はよく知られたEngel展開の双対です。Engelは正の単位積のみを使い、Pierceは各積項の符号を交互に変えます。
古典算法は分数そのものから始め、次の桁を現在の剰余の 1 の床関数 floor(1/x) とし、剰余を 1 − a·x に置き換え、剰余がちょうど零になるまで繰り返します。教科書の短い検算は 2/3 です。
3/2 の床は 1、剰余は 1/3、3 の床は 3 で剰余が消え、Pierce桁は 1 と 3、級数 1/1 − 1/(1·3) がちょうど 2/3 を復元します。もう一つの検算は 1/2 で、単一桁 2 が 1/2 を復元します。
剰余写像により各新桁は直前より厳密に大きくなり、列は停滞せず、既約分数 p/q の展開長は Erdős・Shallit らによる古典的結果で理論上有界です。実務の宿題分数は数回の整数ステップで終わります。
活用例
教室でのPierce級数検算
生徒に (0,1) の分数の p と q を提出させ、手計算の floor(1/x) 剰余手順と狭義増加の Pierce 桁を照合します。
試験・LMS の自動採点
交代エジプト積の設問を、(0,1) 外の分数を拒否し有理数に余分な項を捏造しない決定的オラクルで採点します。
級数展開を比較するノート
同じ有理数の Engel 展開や連分数展開の横に Pierce 桁を計算し、完全な計算機代数ライブラリを取り込みません。
よくある質問
分数のPierce展開とは何ですか？
分数が 1/a1 − 1/(a1·a2) + 1/(a1·a2·a3) − …（交代エジプト積）と等しくなる、正整数の唯一の狭義増加列 a1<a2<… です。(0,1) の任意の有理数は有限展開を持ちます。
計算機はどの分数を受け付けますか？
符号正規化後に 0 < p/q < 1 となる整数分子 p と非零分母 q です。
Pierce桁はどう計算されますか？
現在の剰余 x に対し a = floor(1/x) とし、x を 1 − a·x に置き換え、剰余が零になるまで繰り返します。すべて既約分数上の厳密整数演算です。
Pierce展開はEngel展開とどう違いますか？
Engel展開は非減少桁の正の単位積のみです。Pierceは各積項の符号を交互にし、狭義増加桁 a1<a2<a3<… を強制します。
1/2のPierce展開は何ですか？
桁は2がひとつだけです。1/2の時点で分数と一致するためです。より複雑な分数では前の桁より大きい桁が続き、余りがちょうど0になるまで計算します。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":2,"q":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 2,
"q": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 2,
"q": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":2,"q":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":2,"q":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"p": 2,
"q": 3
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pierce_expansion",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
その開区間の外の分数・零分母・非整数は項を捏造せず invalid_input で失敗します。
Pierce展開とは何か、桁はどう作られるか
任意の有理数では有限回で終了し、無理数では無限に続くため、本エンドポイントは浮動近似ではなく厳密な整数比を受け付けます。
入力契約・応答フィールド・エラー挙動
中間積と剰余が厳密に保たれるよう、絶対値は JavaScript の安全整数範囲内に留める必要があります。分母が正になるよう符号を正規化したあと、ハンドラは開単位区間 0 < p/q < 1 を要求します。0・1・負・1 以上は空虚な空桁列ではなく明確なメッセージで拒否されます。q が 0 のときは分数 p/q について零除算の文言で拒否します。これらの検証失敗は課金されません。より深い計量理論が必要なら収束分数や誤差和のコードと組み合わせてください。必須の有限整数二つ、分子 p と非零分母 q を持つ JSON 本体を POST してください。各フィールドは JSON 数、または先頭符号付きの数字列として送れます。非整数・欠落・空文字はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。成功時は元の p と q、fraction 文字列、最大公約数で約分した reduced_p と reduced_q、順序付き Pierce 桁の terms 配列、その長さ length、中点ドット付き交代単位積の expansion 文字列、安定比較のため小数十五桁に丸めた級数和 value、Pierce 恒等式を述べる短い formula 文字列を返します。例：p=2, q=3 は terms 1,3 と 1/1 − 1/(1·3)、値 2/3 を与えます。例：p=3, q=7 は手で復元できる短い交代積を与えます。本エンドポイントは有理数の展開のみを行います。
Pierce展開計算機が役立つ場面
教室とチュータリング基盤は、開単位区間の任意分数について符号や床関数の誤りなしに交代エジプト積を検算できるよう Pierce 展開計算機を使います。検証失敗は残高を消費しません。試験・コンテスト生成器は誤った桁列を判定し、0 と 1 の外の分数を拒否する決定的オラクルを必要とし、壊れた採点が成功と誤る空虚な成功ペイロードは返しません。同じ有理数で Engel・Sylvester・Pierce 級数を比べる数論ノートは、二整数問題のために巨大な計算機代数系を引っ張らない小さな純粋 API を必要とします。実装は純粋 parse の tier A のため、成功呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開の基本料金 $0.002 です。安全整数内にリクエストを保ち、回帰試験で terms 配列を固定すれば、開単位区間の任意有理数について有限かつ厳密な展開の浮動切捨てを捏造せず、宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けに再現可能な Pierce 桁が得られます。
技術的な質問
Pierce展開計算機の料金は？
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功1回あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。