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エジプト分数の項数

Q: 最短のエジプト展開を求めますか？

いいえ。 古典的な貪欲（Fibonacci–Sylvester）展開の長さのみを返します。最短展開は異なることがあり、別の探索が必要です。

貪欲法では3/4は1/2 + 1/4になり、単位分数は2つ必要です。真分数を入れると、項の数と各単位分数の分母が順に表示され、すべての段階を確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

分子: 3
分母: 4

結果

分数: 3/4
項数: 2
単位分数の分母: 2, 4

エジプト分数は有理数を、分子が 1 の互いに異なる単位分数の和として表します。古典的な貪欲法（Fibonacci–Sylvester アルゴリズムとも呼ばれます）は、残りを超えない最大の単位分数を常に取り除き、残りがなくなるまで繰り返します。本機能は正の真分数（分子／分母）を受け取り、その決定的な展開を実行し、単位分数の項数と、各ステップを検証できる順序付きの単位分母の一覧を返します。

貪欲なエジプト分数展開とは

正の有理数のエジプト分数表現とは、例えば 1/2 + 1/3 + 1/7 のように、互いに異なる単位分数の有限和です。古代エジプト数学は多くの有理数をこのように記録し、現代の数論でも最短展開・貪欲展開・関連するディオファントス問題が研究されています。貪欲アルゴリズムは一意に定義されます。

残り r が a/b（a が正）のとき、1/k が r 以下となる最小の整数 k を選びます。これはちょうど k = ceil(b/a) です。r から 1/k を引き、新しい真分数の残りを得て、最大公約数で約分し、繰り返します。

3/4 では最初の単位分数は 1/2、残りは 1/4、次も 1/4 なので項数は 2 です。3/7 では貪欲ステップが 1/3、1/11、1/231 を与え、項数は 3 です。すでに既約の単位分数（例: 1/5）は 1 項に展開されます。

アルゴリズムは完全に決定的で、乱数・浮動小数点の許容誤差・外部表は使いません。本ページは、その正規の貪欲展開の長さ（項数）と、途中で得られる単位分母を報告します。宿題の模範解答やプログラミング競技で「貪欲法が使うエジプト分数の和の項数はいくつか」と問われるときに最も必要とされる量です。

活用例

宿題とワークシートの模範解答

真分数を貪欲法で展開し、各問題で学習者が列挙すべき互いに異なる単位分数の個数を確認します。

Fibonacci–Sylvester アルゴリズムの指導

3/4 や 3/7 などの分数で ceiling ステップを示し、長さと順序付き単位分母の両方を提示します。

よくある質問

最短のエジプト展開を求めますか？

いいえ。古典的な貪欲（Fibonacci–Sylvester）展開の長さのみを返します。最短展開は異なることがあり、別の探索が必要です。

3/4には何項必要ですか？

2項です。3/4を超えない最大の単位分数は1/2で、残りは1/4となり、これはすでに単位分数です。つまり3/4 = 1/2 + 1/4です。

貪欲法は各単位分数をどう選びますか？

各段階で残りを超えない最大の単位分数を選びます。分母を分子で割って切り上げ、その分数を引いて残りを約分し、残りがなくなるまで繰り返します。

1より大きい分数を入力できますか？

いいえ。受け付けるのは真分数だけで、分子が分母より小さく、どちらも正である必要があります。それ以外は分かりやすいメッセージで断ります。

分子や分母が0や負の場合はどうなりますか？

推測で計算せずに断ります。どの値を直せばよいかがメッセージで分かるので、正の値に直して入力し直してください。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"numerator":3,"denominator":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "numerator": 3,
    "denominator": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "numerator": 3,
    "denominator": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"numerator":3,"denominator":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":3,"denominator":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/egyptian-fraction-length", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "numerator": 3,
  "denominator": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.egyptian_fraction_length",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

学習者・指導者・余暇の数論スクリプトは、無料ブラウザツールと前払い API（成功呼び出しあたり $0.002）で同一の答えを得られます。非正の分子・分母、および仮分数は invalid_input で失敗し、課金されません。

入力契約・応答フィールド・検証規則

分子は分母より厳密に小さく、両者は正でなければなりません。値は整数で、公開上限の 100 万以内である必要があります。分子が分母以上の場合も拒否されます。本ツールは真分数のみを展開するためです（仮分数は呼び出し側で整数部を先に分離する必要があります）。中間演算は大きな整数と gcd 約分を用い、教室規模の分母でも厳密さを保ちます。1 万項を超える、あるいは途中桁数が異常に増える病的な残りは、ワーカーをハングさせず拒否します。真分数の numerator と denominator という 2 つの必須正整数を含む JSON 本体を POST してください。別名 a と num は numerator に、b と den は denominator に対応します。各フィールドは JSON 数値、または数字のみの文字列で渡せます。フィールド欠落・非整数・0・負数では、違反した規則名付きの invalid_input で失敗します（製品契約が要求する非正の場合を明示的に含みます）。成功時、本体は numerator・denominator、表示用文字列 fraction、貪欲単位分数の個数 term_count、各貪欲ステップの k 値の列 unit_denominators を返します。料金は成功リクエストあたり一律 $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。

項数が学習・競技・自動化に役立つ場面

歴史的記数法の授業では、いくつかの真分数を手で展開し、和の項を数えさせることがよくあります。プログラミング競技の練習や Project Euler 系の問題では貪欲なエジプト展開が頻繁に求められ、このオラクルと実装を比較すれば ceiling の off-by-one や失敗した gcd 約分を検出できます。貪欲ではなく最短のエジプト表現が必要な場合は別の組合せ探索問題であり、本ツールは意図的に古典的な貪欲長の問いだけに答えます。決定的なエジプト分数の項数 API により、教員はワークシートの変種ごとに展開を打ち直さず、模範解答や自動採点を公開できます。ライブラリ作者は有理数演算のリファクタ時に回帰フィクスチャとしてエンドポイントを使えます。本機能は純粋な parse の tier A のため、成功呼び出しは公開された基本料金 $0.002 のみで、モデルトークンも外部ネットワークもありません。入力を真分数かつ公開範囲内に保ち、テストで term_count と unit_denominators を固定すれば、計算機代数システムを立ち上げずに宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けの再現可能な展開長が得られます。

連携の活用例

競技とライブラリの回帰テスト

固定入力について、エジプト分数実装を決定的な term_count と unit_denominators のオラクルと照合します。

技術的な質問

貪欲法でエジプト分数の項数をどう数えますか？

分子が分母より厳密に小さい正整数 numerator と denominator を送ってください。API は k = ceil(denominator/numerator) を繰り返し取り除き、term_count と単位分母の一覧を返します。

分子または分母が非正の場合はどうなりますか？

タスクは invalid_input で失敗します。両フィールドは正整数である必要があり、0 と負値は拒否され課金されません。

成功応答には何が含まれますか？

numerator、denominator、表示用文字列 fraction、term_count、および各貪欲ステップの順序付き k 値 unit_denominators です。

エジプト分数の項数ツールの料金は？

ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功呼び出しあたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →