Calculadora de expansão de Pierce
Digite uma fração entre 0 e 1 e receba seus dígitos de Pierce exatos: 2/3 dá 1 e 3, porque 1/1 − 1/(1·3) reconstrói dois terços. Cada resultado mostra a série alternada e seu valor decimal. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Potência (W)
- 2
- Q
- 3
- Valor
- 0,6666666667
- Fração
- 2/3
- p reduzido
- 2
- q reduzido
- 3
A expansão de Pierce de um número real estritamente entre zero e um é a única sequência estritamente crescente de inteiros positivos que reconstrói o valor como soma alternada de produtos unitários: um sobre a1, menos um sobre a1 vezes a2, mais um sobre a1 vezes a2 vezes a3, e assim por diante. Todo racional no intervalo unitário aberto tem uma série de Pierce finita, de modo que verificações de lição de casa, corretores de competição e cadernos de teoria dos números podem fixar uma lista exata de dígitos sem parâmetros de truncamento em ponto flutuante. Esta calculadora de expansão de Pierce aceita o numerador p e o denominador não nulo q, exige que a fração reduzida satisfaça zero menor que p sobre q menor que um, e devolve a sequência completa de dígitos junto com uma cadeia de expansão legível e um valor decimal reconstruído.
O que é uma expansão de Pierce e como os dígitos são construídos
Uma expansão de Pierce, também chamada produto egípcio alternado, escreve um número x no intervalo unitário aberto como x igual a um sobre a1 menos um sobre o produto a1 a2 mais um sobre a1 a2 a3 menos o próximo termo de produto, continuando com inteiros positivos estritamente crescentes a1 menor que a2 menor que a3 e assim por diante. A construção é dual em espírito à expansão de Engel, mais conhecida: Engel usa apenas produtos unitários positivos, enquanto Pierce alterna o sinal de cada termo sucessivo do produto.
O algoritmo clássico parte da própria fração, define o próximo dígito como o piso de um sobre o resto atual, substitui o resto por um menos esse dígito vezes o resto, e repete até o resto ser exatamente zero.
Uma verificação breve de livro é dois terços: o piso de três meios é um, o resto é um terço, o piso de três é três e o resto some, logo os dígitos de Pierce são um e três, e a série um sobre um menos um sobre um vezes três reconstrói exatamente dois terços. Outra verificação é um meio: um único dígito dois recupera a fração como um sobre dois.
Como cada novo dígito é forçado a ser estritamente maior que o anterior pelo mapa de restos, a sequência nunca estagna, e o comprimento da expansão de uma fração reduzida p sobre q é limitado em teoria por resultados clássicos de Erdős, Shallit e autores posteriores; frações práticas de lição de casa terminam em um punhado de passos inteiros.
Contrato de entrada, campos de resposta e comportamento de erro
Os valores absolutos devem permanecer dentro da faixa de inteiros seguros do JavaScript para que todo produto intermediário e resto seja exato. Após normalizar o sinal de modo que o denominador seja positivo, o manipulador exige a condição do intervalo unitário aberto zero menor que p sobre q menor que um; valores em zero, um, negativos ou maiores ou iguais a um são rejeitados com mensagem clara em vez de uma lista vazia de dígitos.
Se q for zero, o manipulador rejeita com linguagem de divisão por zero para a fração p sobre q. Essas falhas de validação não são faturadas. Exemplo: p igual a dois e q igual a três produz termos um e três, expansão um sobre um menos um sobre um vezes três, e valor dois terços.
Exemplo: p igual a três e q igual a sete produz um produto alternado curto que você pode reconstruir à mão.
Casos de uso
Verificações de série de Pierce em sala de aula
Permita que os alunos enviem p e q de uma fração em (0,1) e verifiquem os dígitos de Pierce estritamente crescentes diante dos passos de resto floor(1/x) feitos à mão.
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de produto egípcio alternado com um oráculo determinístico que rejeita frações fora de (0,1) e nunca inventa termos extras para um racional.
Cadernos que comparam expansões em série
Calcule dígitos de Pierce ao lado de expansões de Engel ou de fração contínua do mesmo racional sem importar um sistema completo de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
O que é uma expansão de Pierce de uma fração?
É a única sequência estritamente crescente de inteiros positivos a1<a2<… tal que a fração vale 1/a1 − 1/(a1·a2) + 1/(a1·a2·a3) − … (produto egípcio alternado). Todo racional em (0,1) tem expansão finita.
Quais frações a calculadora aceita?
Numerador inteiro p e denominador não nulo q com 0 < p/q < 1 após normalizar o sinal.
Como os dígitos de Pierce são calculados?
Defina a = floor(1/x) para o resto atual x, substitua x por 1 − a·x e repita até o resto ser zero. Todos os passos usam aritmética inteira exata na fração reduzida.
Em que a expansão de Pierce difere da de Engel?
A expansão de Engel usa apenas produtos unitários positivos com dígitos não decrescentes. Pierce alterna o sinal de cada termo sucessivo do produto e força dígitos estritamente crescentes a1<a2<a3<….
Qual é a expansão de Pierce de 1/2?
É um único dígito, o 2, porque um sobre dois já é a própria fração. Frações mais longas precisam de mais dígitos, cada um maior que o anterior, até o resto chegar exatamente a zero.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":2,"q":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 2,
"q": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 2,
"q": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":2,"q":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":2,"q":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"p": 2,
"q": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pierce_expansion",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Frações fora desse intervalo aberto, denominadores nulos e não inteiros falham com invalid_input em vez de inventar termos.
O que é uma expansão de Pierce e como os dígitos são construídos
Para todo racional o processo termina após um número finito de passos; para irracionais continuaria indefinidamente, por isso este endpoint aceita uma razão inteira exata e não uma aproximação em ponto flutuante.
Contrato de entrada, campos de resposta e comportamento de erro
Envie por POST um corpo JSON com dois inteiros finitos obrigatórios: p, o numerador, e q, o denominador não nulo. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia de dígitos com sinal inicial opcional; não inteiros, campos ausentes e cadeias vazias falham com invalid_input nomeando o campo. Em caso de sucesso o corpo ecoa p e q originais, uma cadeia de fração, reduced_p e reduced_q após cancelar o máximo divisor comum, o array terms de dígitos de Pierce em ordem, length igual ao tamanho desse array, uma cadeia expansion que escreve os produtos unitários alternados com pontos médios nos denominadores, um campo value igual à soma da série arredondada a quinze casas decimais para comparações estáveis, e uma cadeia formula breve que reafirma a identidade de Pierce. Combine os dígitos com seu próprio código de convergentes ou de soma de erros se precisar de teoria métrica mais profunda; este endpoint apenas expande o racional.
Onde uma calculadora de expansão de Pierce agrega valor
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de expansão de Pierce para que os alunos verifiquem produtos egípcios alternados de frações arbitrárias no intervalo unitário aberto sem erros de sinal ou de piso. Geradores de provas e competições precisam de um oráculo determinístico que marque sequências de dígitos incorretas e rejeite frações fora de zero um em vez de devolver uma carga de sucesso vazia que um corretor defeituoso possa tratar como correta. Validação falha não consome saldo. Cadernos de teoria dos números que comparam séries de Engel, de Sylvester e de Pierce no mesmo racional precisam de uma API pura e pequena que nunca puxe um sistema completo de álgebra computacional para um problema de dois inteiros. Como a implementação é análise pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de expansão de Pierce?
A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é faturada.