Convergentes de fração contínua
Digite os quocientes parciais 3, 7, 15, 1 e receba as convergentes 3/1, 22/7, 333/106 e 355/113, cada uma mais próxima de π. Cada passo segue a recorrência clássica com números inteiros exatos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Quocientes parciais
- 3, 7, 15, 1
- Quantidade
- 4
As frações contínuas escrevem um número real como uma escada aninhada de quocientes parciais inteiros, e os truncamentos finitos sucessivos dessa escada são os convergentes: as melhores aproximações racionais com denominadores limitados. Esta calculadora de convergentes de fração contínua aceita uma lista não vazia de quocientes parciais inteiros, executa a recorrência clássica de dois termos com intermediários BigInt e devolve cada convergente com numerador, denominador, string de fração e valor decimal.
O que são convergentes e como a recorrência funciona
Truncar após a0 dá o primeiro convergente h0/k0 = a0/1. Truncar após a1 dá h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1, e cada truncamento adicional produz uma melhor aproximação racional da fração contínua infinita. A recorrência linear padrão empacota esse processo: sementes h−2 = 0, h−1 = 1, k−2 = 1, k−1 = 0, depois hn = an·h(n−1) + h(n−2) e kn = an·k(n−1) + k(n−2) para n de 0 até m.
Cada convergente já está em termos mínimos quando os quocientes parciais definem uma fração contínua simples, e convergentes consecutivos satisfazem a identidade do determinante hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). Verificações clássicas de livro incluem π ≈ [3; 7, 15, 1] produzindo 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, e a escada de √2 [1; 2, 2, 2, …] produzindo 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29.
Para que servem as convergentes de uma fração contínua
Cursos de álgebra e teoria dos números pedem que se calculem à mão os primeiros convergentes de π, e ou de um irracional quadrático; um oráculo determinístico permite que verificadores de deveres e plugins LMS marquem a sequência completa sem deriva de ponto flutuante. Programação competitiva e problemas no estilo Project Euler costumam precisar das melhores aproximações racionais sob um limite de denominador, que são exatamente os convergentes da expansão em fração contínua do alvo.
Sites de conteúdo que ranqueiam por calculadora de convergentes de fração contínua beneficiam-se de um caminho gratuito no navegador que coincide byte a byte com a automação no mesmo módulo puro.
Casos de uso
Verificações de sala de aula e deveres
Alunos enviam quocientes parciais de π ou √2 e verificam a lista ordenada completa de frações convergentes face à recorrência do livro.
Correção automática de exames e LMS
Avalie itens de fração contínua com um oráculo determinístico que rejeita listas vazias e não inteiros em vez de devolver um sucesso oco.
Pipelines diofantinos e de aproximação
Transforme quocientes parciais já conhecidos em tabelas h/k para solucionadores de Pell, astronomia de calendários ou reconstrução racional em cadernos.
Perguntas frequentes
O que acontece se a lista estiver vazia?
Uma fração contínua precisa de pelo menos um quociente parcial; entrada vazia nunca é tratada como sequência bem-sucedida de comprimento zero.
Quais são as convergentes da fração contínua de π [3; 7, 15, 1]?
São 3/1, 22/7, 333/106 e 355/113. Cada uma surge ao cortar a fração contínua um termo depois, e cada uma aproxima π melhor do que a anterior.
Como cada convergente é calculada?
Multiplique o novo quociente parcial pelo numerador anterior e some o numerador de dois passos antes; faça o mesmo com os denominadores. A escada parte dos valores fixos 0 e 1, então a primeira convergente é o primeiro quociente sobre 1.
As convergentes já saem simplificadas?
Sim. Numa fração contínua simples, toda convergente já sai reduzida, então 22/7 e 355/113 não precisam de mais simplificação. Duas convergentes seguidas, multiplicadas em cruz, sempre diferem exatamente em 1.
Posso digitar decimais como quocientes parciais?
Não. Cada quociente parcial precisa ser um número inteiro, e um decimal ou uma lista vazia são recusados com uma mensagem clara, em vez de um resultado enganoso. Digite os quocientes que você já conhece, como 1, 2, 2, 2 para a raiz de 2.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.convergents_from_cf",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Estudantes que encontram π como [3; 7, 15, 1, 292, …], programadores que validam solucionadores da equação de Pell e criptógrafos que inspecionam bases reduzidas precisam do mesmo mapa determinístico de uma lista de valores a_i para as frações h_n/k_n. Listas vazias e entradas não inteiras falham com invalid_input para que corretores e automação nunca confundam um payload incorreto com um resultado vazio verdadeiro.
O que são convergentes e como a recorrência funciona
Uma fração contínua simples escreve-se [a0; a1, a2, …, am] em que cada a_i é um quociente parcial inteiro. Este endpoint materializa toda essa sequência numa única resposta para que você possa exibir, avaliar ou alimentar as frações num pipeline diofantino maior sem rederivar a recorrência em cada linguagem cliente.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Um array vazio ou uma lista de string vazia é rejeitado com mensagem clara de lista vazia em vez de devolver zero convergentes, porque uma fração contínua vazia não é um objeto matemático válido para esta ferramenta. Listas com mais de sessenta e quatro termos são rejeitadas para manter numeradores e denominadores no domínio de inteiros seguros da plataforma. Uma string formula reenuncia a recorrência para exibição junto às respostas de aula. Envie por POST um corpo JSON com o campo obrigatório partial_quotients: um array não vazio de inteiros finitos (ou uma única string de decimais inteiros separados por vírgulas). Os aliases quotients, a, cf, terms e coefficients são aceites para a mesma lista. Cada entrada pode chegar como número JSON, string inteira compatível com BigInt ou string inteira com sinal opcional; frações, notação científica, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input indicando o índice errado. Em sucesso o corpo ecoa partial_quotients, informa count e devolve convergents como array ordenado de objetos com index, numerator, denominator, fraction ("h/k") e value (decimal arredondado a doze casas para goldens estáveis). A aritmética intermediária usa BigInt; se um numerador ou denominador sair da faixa de inteiros seguros a chamada falha com invalid_input em vez de perder precisão em silêncio. Falhas de validação não são cobradas; só sequências de convergentes bem-sucedidas consomem o preço base publicado US$ 0,002.
Onde uma API de convergentes a partir de CF vale a pena
Cadernos de pesquisa que já obtiveram quocientes parciais num passo de expansão separado podem chamar este endpoint parse leve em vez de puxar um sistema completo de álgebra computacional só para avaliar a recorrência h/k. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída, e invalid_input nunca debita o saldo.
Perguntas técnicas
Como obter convergentes a partir de uma fração contínua?
Envie partial_quotients como um array não vazio de inteiros, por exemplo [3, 7, 15, 1]. A API devolve cada convergente h_n/k_n com numerador, denominador, string de fração e valor decimal.
Cada quociente parcial tem de ser inteiro?
Sim. Números não inteiros, notação científica e strings não numéricas são rejeitados com invalid_input indicando o índice ofensor.
Que recorrência a calculadora usa?
As sementes padrão h−2=0, h−1=1, k−2=1, k−1=0 e depois h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2}, k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} para cada índice n.
Quanto custa a calculadora de convergentes de fração contínua?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.