Convergenti di frazione continua
Inserisca i quozienti parziali 3, 7, 15, 1 e otterrà i convergenti 3/1, 22/7, 333/106 e 355/113, ognuno più vicino a π. Ogni passo segue la ricorrenza classica con numeri interi esatti. Gratis nel suo browser.
- Gratis
- Funziona nel suo browser
- Senza registrazione
- I suoi dati restano sul dispositivo
Esegui gratis nel browser
Esempio risolto
- Quozienti parziali
- 3, 7, 15, 1
- Quantità
- 4
Le frazioni continue scrivono un numero reale come una scala annidata di quozienti parziali interi, e i troncamenti finiti successivi di quella scala sono i convergenti: le migliori approssimazioni razionali con denominatori limitati.
Cosa sono i convergenti e come funziona la ricorrenza
Troncare dopo a0 dà il primo convergente h0/k0 = a0/1. Troncare dopo a1 dà h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1, e ogni ulteriore troncamento produce una migliore approssimazione razionale della frazione continua infinita. La ricorrenza lineare standard racchiude questo processo: semi h−2 = 0, h−1 = 1, k−2 = 1, k−1 = 0, poi hn = an·h(n−1) + h(n−2) e kn = an·k(n−1) + k(n−2) per n da 0 a m.
Ogni convergente è già ai minimi termini quando i quozienti parziali definiscono una frazione continua semplice, e convergenti consecutivi soddisfano l'identità del determinante hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). Controlli classici da manuale includono π ≈ [3; 7, 15, 1] che produce 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, e la scala di √2 [1; 2, 2, 2, …] che produce 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29.
A cosa servono i convergenti di una frazione continua
I corsi di algebra e teoria dei numeri chiedono di calcolare a mano i primi convergenti di π, e o di un irrazionale quadratico; un oracolo deterministico consente a correttori di compiti e plugin LMS di valutare l'intera sequenza senza deriva in virgola mobile. La programmazione competitiva e i problemi in stile Project Euler spesso richiedono le migliori approssimazioni razionali sotto un vincolo di denominatore, che sono esattamente i convergenti dell'espansione in frazione continua del bersaglio.
I siti di contenuti che si posizionano su calcolatore di convergenti di frazione continua beneficiano di un percorso browser gratuito che coincide byte per byte con l'automazione sullo stesso modulo puro.
Casi d'uso
Controlli in aula e compiti
Gli studenti inviano quozienti parziali per π o √2 e verificano l'elenco ordinato completo delle frazioni convergenti rispetto alla ricorrenza del manuale.
Valutazione automatica di esami e LMS
Valuti voci di frazione continua con un oracolo deterministico che rifiuta elenchi vuoti e non interi invece di restituire un successo vuoto.
Pipeline diofantee e di approssimazione
Trasformi quozienti parziali già noti in tabelle h/k per solutori di Pell, astronomia dei calendari o ricostruzione razionale nei notebook.
Domande frequenti
Cosa succede se l'elenco è vuoto?
Una frazione continua richiede almeno un quoziente parziale; l'input vuoto non viene mai trattato come sequenza riuscita di lunghezza zero.
Quali sono i convergenti della frazione continua di π [3; 7, 15, 1]?
Sono 3/1, 22/7, 333/106 e 355/113. Ognuno nasce tagliando la frazione continua un termine più avanti, e ognuno approssima π meglio del precedente.
Come si calcola ogni convergente?
Moltiplichi il nuovo quoziente parziale per il numeratore precedente e aggiunga quello di due passi prima; faccia lo stesso con i denominatori. La scala parte dai valori fissi 0 e 1, quindi il primo convergente è il primo quoziente su 1.
I convergenti escono già ridotti ai minimi termini?
Sì. In una frazione continua semplice ogni convergente esce già ridotto, quindi 22/7 e 355/113 non si semplificano oltre. Due convergenti consecutivi, moltiplicati in croce, differiscono sempre esattamente di 1.
Posso inserire decimali come quozienti parziali?
No. Ogni quoziente parziale deve essere un numero intero, e un decimale o un elenco vuoto vengono rifiutati con un messaggio chiaro invece di un risultato fuorviante. Inserisca i quozienti che già conosce, come 1, 2, 2, 2 per la radice di 2.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.convergents_from_cf",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Gli studenti che incontrano π come [3; 7, 15, 1, 292, …], i programmatori che validano solutori dell'equazione di Pell e i crittografi che ispezionano basi ridotte necessitano della stessa mappa deterministica da un elenco di valori a_i alle frazioni h_n/k_n. Questo calcolatore di convergenti di frazione continua accetta un elenco non vuoto di quozienti parziali interi, esegue la ricorrenza classica a due termini con intermedi BigInt e restituisce ogni convergente con numeratore, denominatore, stringa di frazione e valore decimale. Elenchi vuoti e voci non intere falliscono con invalid_input così che correttori e automazione non confondano mai un payload errato con un vero risultato vuoto.
Cosa sono i convergenti e come funziona la ricorrenza
Una frazione continua semplice si scrive [a0; a1, a2, …, am] dove ogni a_i è un quoziente parziale intero. Questo endpoint materializza l'intera sequenza in una sola risposta così che Lei possa visualizzare, valutare o immettere le frazioni in una pipeline diofantea più ampia senza riderivare la ricorrenza in ogni linguaggio client.
Contratto di input, forma della risposta ed errori
Un array vuoto o un elenco di stringa vuota viene rifiutato con un messaggio chiaro di elenco vuoto invece di restituire zero convergenti, perché una frazione continua vuota non è un oggetto matematico valido per questo strumento. Elenchi più lunghi di sessantaquattro termini vengono rifiutati per mantenere numeratori e denominatori nel dominio degli interi sicuri della piattaforma. Una stringa formula riafferma la ricorrenza per la visualizzazione accanto alle risposte di classe. Invii con POST un corpo JSON con il campo obbligatorio partial_quotients: un array non vuoto di interi finiti (oppure una sola stringa di decimali interi separati da virgole). Gli alias quotients, a, cf, terms e coefficients sono accettati per lo stesso elenco. Ogni voce può arrivare come numero JSON, stringa intera compatibile BigInt o stringa intera con segno opzionale; frazioni, notazione scientifica, stringhe vuote e valori non finiti falliscono con invalid_input indicando l'indice errato. In caso di successo il corpo riecheggia partial_quotients, riporta count e restituisce convergents come array ordinato di oggetti con index, numerator, denominator, fraction ("h/k") e value (decimale arrotondato a dodici cifre per goldens stabili). L'aritmetica intermedia usa BigInt; se un numeratore o un denominatore uscisse dall'intervallo degli interi sicuri la chiamata fallisce con invalid_input invece di perdere silenziosamente precisione. I fallimenti di validazione non vengono addebitati; solo le sequenze di convergenti riuscite consumano il prezzo base pubblicato $0.002.
Dove un'API di convergenti da CF rende valore
I notebook di ricerca che hanno già ottenuto quozienti parziali da un passo di espansione separato possono chiamare questo endpoint parse leggero invece di caricare un intero sistema di algebra computazionale solo per valutare la ricorrenza h/k. Poiché l'implementazione è parse puro di livello A, ogni chiamata riuscita costa $0.002 senza token di modello né rete in uscita, e invalid_input non addebita mai il saldo.
Domande tecniche
Come si ottengono i convergenti da una frazione continua?
Invii partial_quotients come un array non vuoto di interi, ad esempio [3, 7, 15, 1]. L'API restituisce ogni convergente h_n/k_n con numeratore, denominatore, stringa di frazione e valore decimale.
Ogni quoziente parziale deve essere un intero?
Sì. Numeri non interi, notazione scientifica e stringhe non numeriche vengono rifiutati con invalid_input indicando l'indice colpevole.
Quale ricorrenza usa il calcolatore?
I semi standard h−2=0, h−1=1, k−2=1, k−1=0 e poi h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2}, k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} per ogni indice n.
Quanto costa il calcolatore di convergenti di frazione continua?
Lo strumento browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'input non valido non viene addebitato.