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Réduites de fraction continue

Saisissez les quotients partiels 3, 7, 15, 1 et vous obtenez les réduites 3/1, 22/7, 333/106 et 355/113, chacune plus proche de π. Chaque étape suit la récurrence classique avec des entiers exacts. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

Quotients partiels: 3, 7, 15, 1

Vous obtenez

Quantité: 4

Les fractions continues écrivent un nombre réel comme une échelle imbriquée de quotients partiels entiers, et les troncatures finies successives de cette échelle sont les réduites : les meilleures approximations rationnelles à dénominateurs bornés. Ce calculateur de réduites de fraction continue accepte une liste non vide de quotients partiels entiers, exécute la récurrence classique à deux termes avec des intermédiaires BigInt et renvoie chaque réduite avec numérateur, dénominateur, chaîne de fraction et valeur décimale.

Ce que sont les réduites et comment fonctionne la récurrence

Tronquer après a0 donne la première réduite h0/k0 = a0/1. Tronquer après a1 donne h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1, et chaque troncature supplémentaire produit une meilleure approximation rationnelle de la fraction continue infinie. La récurrence linéaire standard regroupe ce processus : germes h−2 = 0, h−1 = 1, k−2 = 1, k−1 = 0, puis hn = an·h(n−1) + h(n−2) et kn = an·k(n−1) + k(n−2) pour n de 0 à m.

Chaque réduite est déjà irréductible lorsque les quotients partiels définissent une fraction continue simple, et des réduites consécutives satisfont l'identité du déterminant hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). Les vérifications classiques des manuels incluent π ≈ [3; 7, 15, 1] produisant 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, et l'échelle de √2 [1; 2, 2, 2, …] produisant 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29.

Ce point d'accès matérialise toute cette suite en une seule réponse pour que vous puissiez afficher, noter ou injecter les fractions dans un pipeline diophantien plus large sans redériver la récurrence dans chaque langage client.

À quoi servent les réduites d'une fraction continue

Les cours d'algèbre et de théorie des nombres demandent de calculer à la main les premières réduites de π, e ou d'un irrationnel quadratique ; un oracle déterministe permet aux correcteurs de devoirs et aux plugins LMS de noter la suite complète sans dérive en virgule flottante. La programmation compétitive et les problèmes de type Project Euler ont souvent besoin des meilleures approximations rationnelles sous une borne de dénominateur, qui sont exactement les réduites du développement en fraction continue de la cible.

Les carnets de recherche qui ont déjà obtenu des quotients partiels lors d'une étape d'expansion séparée peuvent appeler ce point d'accès parse léger au lieu de charger un système d'algèbre formelle complet seulement pour évaluer la récurrence h/k. Les sites de contenu qui se positionnent sur calculateur de réduites de fraction continue bénéficient d'un chemin navigateur gratuit qui coïncide octet par octet avec l'automatisation sur le même module pur.

Cas d’usage

Contrôles en classe et devoirs

Les élèves envoient des quotients partiels pour π ou √2 et vérifient la liste ordonnée complète des fractions réduites face à la récurrence du manuel.

Notation automatique d'examens et LMS

Notez des items de fraction continue avec un oracle déterministe qui rejette listes vides et non-entiers au lieu de renvoyer un succès creux.

Pipelines diophantiens et d'approximation

Transformez des quotients partiels déjà connus en tables h/k pour solveurs de Pell, astronomie des calendriers ou reconstruction rationnelle dans des carnets.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si la liste est vide ?

Une fraction continue nécessite au moins un quotient partiel ; une entrée vide n'est jamais traitée comme une suite réussie de longueur zéro.

Quelles sont les réduites de la fraction continue de π [3; 7, 15, 1] ?

Ce sont 3/1, 22/7, 333/106 et 355/113. Chacune vient de la fraction continue coupée un terme plus loin, et chacune approche π mieux que la précédente.

Comment chaque réduite est-elle calculée ?

Multipliez le nouveau quotient partiel par le numérateur précédent et ajoutez le numérateur d'avant ; faites de même avec les dénominateurs. L'échelle part des valeurs fixes 0 et 1, donc la première réduite est le premier quotient sur 1.

Les réduites sont-elles déjà irréductibles ?

Oui. Pour une fraction continue simple, chaque réduite sort déjà simplifiée : 22/7 et 355/113 ne se réduisent pas davantage. Deux réduites consécutives, multipliées en croix, diffèrent toujours d'exactement 1.

Puis-je saisir des décimaux comme quotients partiels ?

Non. Chaque quotient partiel doit être un nombre entier, et un décimal ou une liste vide sont refusés avec un message clair plutôt qu'un résultat trompeur. Saisissez les quotients que vous connaissez déjà, comme 1, 2, 2, 2 pour la racine de 2.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "partial_quotients": [
      3,
      7,
      15,
      1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "partial_quotients": [
        3,
        7,
        15,
        1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "partial_quotients": [
    3,
    7,
    15,
    1
  ]
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.convergents_from_cf",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Les élèves qui rencontrent π sous la forme [3; 7, 15, 1, 292, …], les programmeurs qui valident des solveurs d'équation de Pell et les cryptographes qui inspectent des bases réduites ont besoin de la même application déterministe d'une liste de valeurs a_i vers les fractions h_n/k_n. Les listes vides et les entrées non entières échouent avec invalid_input afin que correcteurs et automatisation ne confondent jamais une charge incorrecte avec un vrai résultat vide.

Ce que sont les réduites et comment fonctionne la récurrence

Une fraction continue simple s'écrit [a0; a1, a2, …, am] où chaque a_i est un quotient partiel entier.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Un tableau vide ou une liste de chaîne vide est rejeté avec un message clair de liste vide plutôt que de renvoyer zéro réduites, car une fraction continue vide n'est pas un objet mathématique valide pour cet outil. Les listes de plus de soixante-quatre termes sont rejetées pour garder numérateurs et dénominateurs dans le domaine des entiers sûrs de la plateforme. Une chaîne formula reformule la récurrence pour l'affichage à côté des réponses de cours. Envoyez en POST un corps JSON avec le champ obligatoire partial_quotients : un tableau non vide d'entiers finis (ou une seule chaîne de décimaux entiers séparés par des virgules). Les alias quotients, a, cf, terms et coefficients sont acceptés pour la même liste. Chaque entrée peut arriver comme nombre JSON, chaîne entière compatible BigInt ou chaîne entière avec signe optionnel ; fractions, notation scientifique, chaînes vides et valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant l'index fautif. En cas de succès le corps répète partial_quotients, indique count et renvoie convergents comme tableau ordonné d'objets avec index, numerator, denominator, fraction ("h/k") et value (décimal arrondi à douze décimales pour des goldens stables). L'arithmétique intermédiaire utilise BigInt ; si un numérateur ou un dénominateur sortait de la plage des entiers sûrs l'appel échoue avec invalid_input au lieu de perdre silencieusement de la précision. Les échecs de validation ne sont pas facturés ; seules les suites de réduites réussies consomment le prix de base publié $0.002.

Où une API de réduites depuis CF apporte de la valeur

Comme l'implémentation est parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant, et invalid_input ne débite jamais le solde.

Questions techniques

Comment obtenir les réduites d'une fraction continue ?

Envoyez partial_quotients comme un tableau non vide d'entiers, par exemple [3, 7, 15, 1]. L'API renvoie chaque réduite h_n/k_n avec numérateur, dénominateur, chaîne de fraction et valeur décimale.

Chaque quotient partiel doit-il être un entier ?

Oui. Les nombres non entiers, la notation scientifique et les chaînes non numériques sont rejetés avec invalid_input en nommant l'index fautif.

Quelle récurrence le calculateur utilise-t-il ?

Les germes standards h−2=0, h−1=1, k−2=1, k−1=0 puis h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2}, k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} pour chaque index n.

Combien coûte le calculateur de réduites de fraction continue ?

L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Ce que sont les réduites et comment fonctionne la récurrence

À quoi servent les réduites d'une fraction continue

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Notation automatique d'examens et LMS

Pipelines diophantiens et d'approximation

Questions fréquentes

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Exemple de réponse

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Notes techniques

Ce que sont les réduites et comment fonctionne la récurrence

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Où une API de réduites depuis CF apporte de la valeur

Questions techniques

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