Convergentes de fracción continua
Escriba los cocientes parciales 3, 7, 15, 1 y obtendrá las convergentes 3/1, 22/7, 333/106 y 355/113, cada una más cercana a π. Cada paso sigue la recurrencia clásica con números enteros exactos. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Cocientes parciales
- 3, 7, 15, 1
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- 4
Las fracciones continuas escriben un número real como una escalera anidada de cocientes parciales enteros, y los truncamientos finitos sucesivos de esa escalera son los convergentes: las mejores aproximaciones racionales con denominadores acotados. Esta calculadora de convergentes de fracción continua acepta una lista no vacía de cocientes parciales enteros, ejecuta la recurrencia clásica de dos términos con intermedios BigInt y devuelve cada convergente con numerador, denominador, cadena de fracción y valor decimal.
Qué son los convergentes y cómo funciona la recurrencia
Truncar tras a0 da el primer convergente h0/k0 = a0/1. Truncar tras a1 da h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1, y cada truncamiento adicional produce una mejor aproximación racional de la fracción continua infinita. La recurrencia lineal estándar empaqueta este proceso: semillas h−2 = 0, h−1 = 1, k−2 = 1, k−1 = 0, luego hn = an·h(n−1) + h(n−2) y kn = an·k(n−1) + k(n−2) para n de 0 hasta m.
Cada convergente ya está en términos mínimos cuando los cocientes parciales definen una fracción continua simple, y convergentes consecutivos cumplen la identidad del determinante hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). Comprobaciones clásicas de manual incluyen π ≈ [3; 7, 15, 1] produciendo 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, y la escalera de √2 [1; 2, 2, 2, …] produciendo 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29.
Para qué sirven las convergentes de una fracción continua
Los cursos de álgebra y teoría de números piden calcular a mano los primeros convergentes de π, e o un irracional cuadrático; un oráculo determinista permite que comprobadores de deberes y plugins LMS marquen la secuencia completa sin deriva de coma flotante. La programación competitiva y los problemas al estilo Project Euler suelen necesitar las mejores aproximaciones racionales bajo un acote de denominador, que son exactamente los convergentes de la expansión en fracción continua del objetivo.
Los sitios de contenido que posicionan por calculadora de convergentes de fracción continua se benefician de una ruta gratuita en el navegador que coincide byte a byte con la automatización sobre el mismo módulo puro.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de aula y deberes
Los estudiantes envían cocientes parciales de π o √2 y verifican la lista ordenada completa de fracciones convergentes frente a la recurrencia del manual.
Autocalificación de exámenes y LMS
Califique ítems de fracción continua con un oráculo determinista que rechaza listas vacías y no enteros en lugar de devolver un éxito vacío.
Pipelines diofánticos y de aproximación
Convierta cocientes parciales ya conocidos en tablas h/k para solucionadores de Pell, astronomía de calendarios o reconstrucción racional en cuadernos.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si la lista está vacía?
Una fracción continua necesita al menos un cociente parcial; la entrada vacía nunca se trata como una secuencia exitosa de longitud cero.
¿Cuáles son las convergentes de la fracción continua de π [3; 7, 15, 1]?
Son 3/1, 22/7, 333/106 y 355/113. Cada una resulta de cortar la fracción continua un término más tarde, y cada una aproxima π mejor que la anterior.
¿Cómo se calcula cada convergente?
Multiplique el nuevo cociente parcial por el numerador anterior y sume el numerador de dos pasos atrás; haga lo mismo con los denominadores. La escalera parte de los valores fijos 0 y 1, así que la primera convergente es el primer cociente sobre 1.
¿Las convergentes salen ya simplificadas?
Sí. En una fracción continua simple cada convergente sale ya reducida, de modo que 22/7 y 355/113 no admiten más simplificación. Además, dos convergentes seguidas, multiplicadas en cruz, siempre difieren exactamente en 1.
¿Puedo escribir decimales como cocientes parciales?
No. Cada cociente parcial debe ser un número entero, y un decimal o una lista vacía se rechazan con un mensaje claro en lugar de dar un resultado engañoso. Escriba los cocientes que ya conoce, como 1, 2, 2, 2 para la raíz de 2.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"partial_quotients": [
3,
7,
15,
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.convergents_from_cf",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Estudiantes que encuentran π como [3; 7, 15, 1, 292, …], programadores que validan solucionadores de la ecuación de Pell y criptógrafos que inspeccionan bases reducidas necesitan el mismo mapa determinista de una lista de valores a_i a las fracciones h_n/k_n. Las listas vacías y las entradas no enteras fallan con invalid_input para que calificadores y automatización nunca confundan un payload incorrecto con un resultado vacío verdadero.
Qué son los convergentes y cómo funciona la recurrencia
Una fracción continua simple se escribe [a0; a1, a2, …, am] donde cada a_i es un cociente parcial entero. Este endpoint materializa toda esa secuencia en una sola respuesta para que usted pueda mostrar, calificar o alimentar las fracciones en un pipeline diofántico mayor sin rederivar la recurrencia en cada lenguaje cliente.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Un array vacío o una lista de cadena vacía se rechaza con un mensaje claro de lista vacía en lugar de devolver cero convergentes, porque una fracción continua vacía no es un objeto matemático válido para esta herramienta. Las listas de más de sesenta y cuatro términos se rechazan para mantener numeradores y denominadores en el dominio de enteros seguros de la plataforma. Una cadena formula reexpresa la recurrencia para mostrarla junto a respuestas de clase. Envíe por POST un cuerpo JSON con el campo obligatorio partial_quotients: un array no vacío de enteros finitos (o una sola cadena de decimales enteros separados por comas). Se aceptan los alias quotients, a, cf, terms y coefficients para la misma lista. Cada entrada puede llegar como número JSON, cadena entera compatible con BigInt o cadena entera con signo opcional; fracciones, notación científica, cadenas vacías y valores no finitos fallan con invalid_input indicando el índice erróneo. En éxito el cuerpo repite partial_quotients, informa count y devuelve convergents como array ordenado de objetos con index, numerator, denominator, fraction ("h/k") y value (decimal redondeado a doce lugares para goldens estables). La aritmética intermedia usa BigInt; si un numerador o denominador saliera del rango de enteros seguros la llamada falla con invalid_input en lugar de perder precisión en silencio. Los fallos de validación no se facturan; solo las secuencias de convergentes exitosas consumen el precio base publicado $0.002.
Dónde aporta valor una API de convergentes desde CF
Los cuadernos de investigación que ya obtuvieron cocientes parciales en un paso de expansión aparte pueden llamar a este endpoint parse ligero en lugar de cargar un sistema de álgebra computacional completo solo para evaluar la recurrencia h/k. Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente, e invalid_input nunca debita saldo.
Preguntas técnicas
¿Cómo se obtienen los convergentes de una fracción continua?
Envíe partial_quotients como un array no vacío de enteros, por ejemplo [3, 7, 15, 1]. La API devuelve cada convergente h_n/k_n con numerador, denominador, cadena de fracción y valor decimal.
¿Debe ser entero cada cociente parcial?
Sí. Los números no enteros, la notación científica y las cadenas no numéricas se rechazan con invalid_input indicando el índice culpable.
¿Qué recurrencia usa la calculadora?
Las semillas estándar h−2=0, h−1=1, k−2=1, k−1=0 y luego h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2}, k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} para cada índice n.
¿Cuánto cuesta la calculadora de convergentes de fracción continua?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.