Kettenbruch-Näherungsbrüche
Geben Sie die Teilnenner 3, 7, 15, 1 ein und Sie erhalten die Näherungsbrüche 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113, jeder näher an π. Jeder Schritt folgt der klassischen Rekursion mit exakten ganzen Zahlen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Teilnenner
- 3, 7, 15, 1
- Anzahl
- 4
Kettenbrüche schreiben eine reelle Zahl als verschachtelte Leiter ganzzahliger Teilnenner, und die aufeinanderfolgenden endlichen Abbrechungen dieser Leiter sind die Näherungsbrüche: die besten rationalen Approximationen mit beschränkten Nennern.
Was Näherungsbrüche sind und wie die Rekurrenz arbeitet
Abschneiden nach a0 ergibt den ersten Näherungsbruch h0/k0 = a0/1. Abschneiden nach a1 ergibt h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1, und jede weitere Abbrechung liefert eine bessere rationale Approximation des unendlichen Kettenbruchs. Die Standard-Linearrekurrenz bündelt diesen Prozess: Startwerte h−2 = 0, h−1 = 1, k−2 = 1, k−1 = 0, dann hn = an·h(n−1) + h(n−2) und kn = an·k(n−1) + k(n−2) für n von 0 bis m.
Jeder Näherungsbruch ist bereits gekürzt, wenn die Teilnenner einen einfachen Kettenbruch definieren, und aufeinanderfolgende Näherungsbrüche erfüllen die Determinantenidentität hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). Klassische Lehrbuchprüfungen umfassen π ≈ [3; 7, 15, 1] mit 3/1, 22/7, 333/106, 355/113 sowie die √2-Leiter [1; 2, 2, 2, …] mit 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29. Dieser Endpunkt materialisiert die gesamte Folge in einer Antwort, damit Sie die Brüche anzeigen, bewerten oder in eine größere diophantische Pipeline speisen können, ohne die Rekurrenz in jeder Clientsprache neu abzuleiten.
Wofür Näherungsbrüche eines Kettenbruchs nützen
Algebra- und Zahlentheoriekurse verlangen, die ersten Näherungsbrüche von π, e oder einer quadratischen Irrationalität von Hand zu berechnen; ein deterministisches Orakel lässt Hausaufgabenprüfer und LMS-Plugins die volle Folge ohne Gleitkomma-Drift bewerten. Wettbewerbsprogrammierung und Aufgaben im Stil von Project Euler brauchen oft die besten rationalen Approximationen unter einer Nennergrenze — genau die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung des Ziels. Forschungsnotizbücher, die Teilnenner bereits in einem getrennten Entwicklungsschritt gewonnen haben, können diesen leichten Parse-Endpunkt aufrufen, statt ein volles Computeralgebrasystem nur für die h/k-Rekurrenz zu laden.
Content-Seiten, die für Kettenbruch-Näherungsbrüche-Rechner ranken, profitieren von einem kostenlosen Browserpfad, der bytegleich mit dem Automatisierungspfad auf demselben reinen Modul übereinstimmt.
Anwendungsfälle
Unterrichts- und Hausaufgabenprüfungen
Lernende senden Teilnenner für π oder √2 und prüfen die vollständige geordnete Liste der Näherungsbrüche gegen die Lehrbuchrekurrenz.
Automatische Klausur- und LMS-Bewertung
Bewerten Sie Kettenbruchaufgaben mit einem deterministischen Orakel, das leere Listen und Nichtganzzahlen ablehnt statt eines hohlen Erfolgs.
Diophantische und Approximations-Pipelines
Wandeln Sie bereits bekannte Teilnenner in h/k-Tabellen für Pell-Löser, Kalenderastronomie oder rationale Rekonstruktion in Notizbüchern um.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn die Liste leer ist?
Ein Kettenbruch braucht mindestens einen Teilnenner; leere Eingabe wird nie als erfolgreiche Folge der Länge null behandelt.
Welche Näherungsbrüche hat der Kettenbruch von π [3; 7, 15, 1]?
Es sind 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113. Jeder entsteht, wenn man den Kettenbruch einen Term später abbricht, und jeder nähert π besser an als der vorige.
Wie wird jeder Näherungsbruch berechnet?
Multiplizieren Sie den neuen Teilnenner mit dem vorigen Zähler und addieren Sie den Zähler davor; mit den Nennern verfahren Sie genauso. Die Leiter startet mit den festen Werten 0 und 1, daher ist der erste Näherungsbruch einfach der erste Teilnenner über 1.
Sind die Näherungsbrüche schon gekürzt?
Ja. Bei einem regulären Kettenbruch ist jeder Näherungsbruch bereits vollständig gekürzt, 22/7 und 355/113 lassen sich also nicht weiter vereinfachen. Zwei aufeinanderfolgende Brüche unterscheiden sich über Kreuz multipliziert immer um genau 1.
Was passiert bei einer leeren Liste oder Dezimalzahlen?
Beides wird mit einer klaren Meldung abgelehnt, statt ein irreführendes Ergebnis zu liefern. Jeder Teilnenner muss eine ganze Zahl sein; geben Sie die bekannten Werte ein, etwa 1, 2, 2, 2 für die Wurzel aus 2.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"partial_quotients": [
3,
7,
15,
1
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.convergents_from_cf",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Lernende, die π als [3; 7, 15, 1, 292, …] kennenlernen, Programmierer, die Pell-Gleichungslöser prüfen, und Kryptografen, die reduzierte Basen inspizieren, brauchen dieselbe deterministische Abbildung von einer Liste von a_i-Werten auf die Brüche h_n/k_n. Dieser Rechner für Kettenbruch-Näherungsbrüche nimmt eine nicht leere Liste ganzzahliger Teilnenner entgegen, führt die klassische Zweischritt-Rekurrenz mit BigInt-Zwischenwerten aus und liefert jeden Näherungsbruch mit Zähler, Nenner, Bruchstring und Dezimalwert. Leere Listen und nicht ganzzahlige Einträge scheitern mit invalid_input, damit Bewerter und Automatisierung eine fehlerhafte Nutzlast nie mit einem echten leeren Ergebnis verwechseln.
Was Näherungsbrüche sind und wie die Rekurrenz arbeitet
Ein einfacher Kettenbruch wird als [a0; a1, a2, …, am] geschrieben, wobei jedes a_i ein ganzzahliger Teilnenner ist.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Ein leeres Array oder eine leere Zeichenkettenliste wird mit einer klaren Leere-Listen-Meldung abgelehnt statt null Näherungsbrüche zurückzugeben, weil ein leerer Kettenbruch für dieses Werkzeug kein gültiges mathematisches Objekt ist. Listen mit mehr als vierundsechzig Termen werden abgelehnt, damit Zähler und Nenner im sicheren Ganzzahlbereich der Plattform bleiben. Eine formula-Zeichenkette stellt die Rekurrenz für die Anzeige neben Unterrichtsantworten dar. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit dem Pflichtfeld partial_quotients: ein nicht leeres Array endlicher Ganzzahlen (oder eine einzelne komma-getrennte Zeichenkette ganzer Dezimalzahlen). Aliase quotients, a, cf, terms und coefficients werden für dieselbe Liste akzeptiert. Jeder Eintrag darf als JSON-Zahl, BigInt-kompatible ganze Zeichenkette oder Ganzzahlzeichenkette mit optionalem Vorzeichen ankommen; Brüche, wissenschaftliche Notation, leere Zeichenketten und nicht endliche Werte scheitern mit invalid_input unter Nennung des fehlerhaften Index. Bei Erfolg spiegelt der Körper partial_quotients wider, meldet count und liefert convergents als geordnetes Array von Objekten mit index, numerator, denominator, fraction ("h/k") und value (Dezimal auf zwölf Stellen gerundet für stabile Goldens). Die Zwischenarithmetik nutzt BigInt; verlässt ein Zähler oder Nenner den sicheren Ganzzahlbereich, scheitert der Aufruf mit invalid_input statt still Präzision zu verlieren. Validierungsfehler werden nicht berechnet; nur erfolgreiche Näherungsbruchfolgen verbrauchen den veröffentlichten Grundpreis $0.002.
Wo eine API für Näherungsbrüche aus CF Nutzen stiftet
Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz, und invalid_input belastet nie das Guthaben.
Technische Fragen
Wie erhalte ich Näherungsbrüche aus einem Kettenbruch?
Senden Sie partial_quotients als nicht leeres Array von Ganzzahlen, zum Beispiel [3, 7, 15, 1]. Die API liefert jeden Näherungsbruch h_n/k_n mit Zähler, Nenner, Bruchstring und Dezimalwert.
Muss jeder Teilnenner eine Ganzzahl sein?
Ja. Nichtganzzahlen, wissenschaftliche Notation und nichtnumerische Zeichenketten werden mit invalid_input unter Nennung des fehlerhaften Index abgelehnt.
Welche Rekurrenz verwendet der Rechner?
Die Standardstartwerte h−2=0, h−1=1, k−2=1, k−1=0 und dann h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2}, k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} für jeden Index n.
Was kostet der Kettenbruch-Näherungsbrüche-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.