ForHosting KIT · الرياضيات

متقاربات الكسر المستمر

أدخل خوارج القسمة الجزئية 3، 7، 15، 1 لتحصل على المتقاربات 3/1 و22/7 و333/106 و355/113، وكل منها أقرب إلى π من سابقه. كل خطوة تتبع العلاقة التكرارية الكلاسيكية بأعداد صحيحة دقيقة. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

الأحاد الجزئية: 3, 7, 15, 1

تحصل على

الكمية: 4

تكتب الكسور المستمرة العدد الحقيقي كسلّم متداخل من معاملات جزئية صحيحة، والقطوعات المتناهية المتتالية لذلك السلّم هي المتقاربات: أفضل التقريبات النسبية بمقامات محدودة. تقبل حاسبة متقاربات الكسر المستمر هذه قائمة غير فارغة من معاملات جزئية صحيحة، وتشغّل التراجع الكلاسيكي بحدّين مع وسائط BigInt، وتعيد كل متقارب مع البسط والمقام وسلسلة الكسر والقيمة العشرية.

ما المتقاربات وكيف يعمل التراجع

القطع بعد a0 يعطي أول متقارب h0/k0 = a0/1. القطع بعد a1 يعطي h1/k1 = (a1·a0 + 1)/a1، وكل قطع إضافي ينتج تقريبًا نسبيًا أفضل للكسر المستمر اللانهائي. يعبّئ التراجع الخطي القياسي هذه العملية: البذور h−2 = 0 و h−1 = 1 و k−2 = 1 و k−1 = 0، ثم hn = an·h(n−1) + h(n−2) و kn = an·k(n−1) + k(n−2) للمتغير n من 0 حتى m.

يكون كل متقارب بالفعل بأبسط صورة عندما تعرّف المعاملات الجزئية كسرًا مستمرًا بسيطًا، وتحقق المتقاربات المتتالية هوية المحدِّد hn·k(n−1) − h(n−1)·kn = (−1)^(n−1). تشمل فحوصات الكتب الكلاسيكية π ≈ [3; 7, 15, 1] التي تنتج 3/1 و 22/7 و 333/106 و 355/113، وسلّم √2 [1; 2, 2, 2, …] الذي ينتج 1/1 و 3/2 و 7/5 و 17/12 و 41/29. يجسّد هذا الطرف ذلك التسلسل كاملًا في استجابة واحدة حتى تعرضوا الكسور أو تقيّموها أو تغذّوا بها خط أنابيب ديوفنطي أكبر دون إعادة اشتقاق التراجع في كل لغة عميل.

متى تفيدك متقاربات الكسر المستمر

تطلب مقررات الجبر ونظرية الأعداد حساب أوائل متقاربات π أو e أو غير نسبي تربيعي يدويًا؛ يتيح وحي حتمي لمصححي الواجبات وإضافات LMS تقييم التسلسل كاملًا دون انجراف الفاصلة العائمة. كثيرًا ما تحتاج البرمجة التنافسية ومسائل بأسلوب Project Euler أفضل التقريبات النسبية تحت حد للمقام، وهي بالضبط متقاربات نشر الكسر المستمر للهدف. يمكن لدفاتر البحث التي حصلت على المعاملات الجزئية من خطوة نشر منفصلة استدعاء طرف parse الخفيف هذا بدل سحب نظام جبر حاسوبي كامل فقط لتقييم تراجع h/k.

تستفيد مواقع المحتوى التي تتنافس على حاسبة متقاربات الكسر المستمر من مسار متصفح مجاني يطابق مسار الأتمتة بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.

حالات الاستخدام

فحوصات الصف والواجبات

يرسل الطلاب معاملات جزئية للعدد π أو √2 ويتحققون من القائمة المرتبة الكاملة لكسور المتقاربات مقابل تراجع الكتاب.

تصحيح تلقائي للاختبارات وLMS

قيّموا بنود الكسر المستمر بوحي حتمي يرفض القوائم الفارغة وغير الصحيحة بدل إرجاع نجاح أجوف.

خطوط ديوفنطية وتقريبية

حوّلوا معاملات جزئية معروفة مسبقًا إلى جداول h/k لحلول بيل أو فلك التقويم أو إعادة البناء النسبي في الدفاتر.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كانت القائمة فارغة؟

يحتاج الكسر المستمر إلى معامل جزئي واحد على الأقل؛ ولا تُعامل المدخلات الفارغة كتسلسل ناجح بطول صفر.

ما متقاربات الكسر المستمر للعدد π [3; 7, 15, 1]؟

هي 3/1 و22/7 و333/106 و355/113. ينتج كل منها من قطع الكسر المستمر بعد حد إضافي، وكل واحد يقرّب π أفضل من الذي قبله.

كيف يُحسب كل متقارب؟

اضرب خارج القسمة الجزئي الجديد في البسط السابق وأضف البسط الذي قبله، ثم افعل الشيء نفسه مع المقامات. تبدأ السلسلة من القيمتين الثابتتين 0 و1، لذا فالمتقارب الأول هو أول خارج قسمة على 1.

هل تخرج المتقاربات مختزلة؟

نعم. في الكسر المستمر البسيط يخرج كل متقارب في أبسط صورة، فلا يمكن اختزال 22/7 أو 355/113 أكثر. وعند الضرب التبادلي لمتقاربين متتاليين يكون الفرق دائمًا 1 بالضبط.

هل يمكنني إدخال أعداد عشرية؟

لا. يجب أن يكون كل خارج قسمة جزئي عددًا صحيحًا، ويُرفض العدد العشري أو القائمة الفارغة برسالة واضحة بدل نتيجة مضللة. أدخل القيم التي تعرفها، مثل 1، 2، 2، 2 للجذر التربيعي للعدد 2.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "partial_quotients": [
      3,
      7,
      15,
      1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "partial_quotients": [
        3,
        7,
        15,
        1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"partial_quotients":[3,7,15,1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"partial_quotients":[3,7,15,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/convergents-from-cf", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "partial_quotients": [
    3,
    7,
    15,
    1
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.convergents_from_cf",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يحتاج الطلاب الذين يلقون π بصيغة [3; 7, 15, 1, 292, …]، والمبرمجون الذين يتحققون من حلول معادلة بيل، وعلماء التعمية الذين يفحصون قواعد مخفّضة، إلى نفس الخريطة الحتمية من قائمة قيم a_i إلى الكسور h_n/k_n. تفشل القوائم الفارغة والمدخلات غير الصحيحة مع invalid_input حتى لا يخلط المصححون والأتمتة بين حمولة خاطئة ونتيجة فارغة حقيقية. يغذّي نفس وحدة parse النقية أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح.

ما المتقاربات وكيف يعمل التراجع

يُكتب الكسر المستمر البسيط [a0; a1, a2, …, am] حيث كل a_i معامل جزئي صحيح.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء

تُرفض المصفوفة الفارغة أو قائمة السلسلة الفارغة برسالة واضحة عن القائمة الفارغة بدل إرجاع صفر متقاربات، لأن الكسر المستمر الفارغ ليس كائنًا رياضيًا صالحًا لهذه الأداة. تُرفض القوائم الأطول من أربعة وستين حدًّا لإبقاء البسط والمقام داخل نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة للمنصة. تعيد سلسلة formula صياغة التراجع للعرض بجانب إجابات الصف. أرسلوا جسم JSON بطريقة POST مع الحقل الإلزامي partial_quotients: مصفوفة غير فارغة من أعداد صحيحة منتهية (أو سلسلة واحدة من أعداد عشرية صحيحة مفصولة بفواصل). تُقبل الأسماء البديلة quotients و a و cf و terms و coefficients لنفس القائمة. قد يصل كل عنصر كرقم JSON أو سلسلة صحيحة متوافقة مع BigInt أو سلسلة صحيحة بإشارة اختيارية؛ تفشل الكسور والترميز العلمي والسلاسل الفارغة والقيم غير المنتهية مع invalid_input مع تسمية الفهرس الخاطئ. عند النجاح يعيد الجسم صدى partial_quotients ويبلّغ count ويعيد convergents كمصفوفة مرتبة من كائنات فيها index و numerator و denominator و fraction ("h/k") و value (عشري مقرب إلى اثنتي عشرة خانة لاختبارات goldens مستقرة). تستخدم الحسابات الوسطية BigInt؛ وإذا خرج بسط أو مقام عن نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة تفشل الاستدعاء مع invalid_input بدل فقدان الدقة بصمت. لا تُحاسب إخفاقات التحقق؛ وحدها متتاليات المتقاربات الناجحة تستهلك السعر الأساسي المنشور $0.002.

أين تثبت API المتقاربات من CF جدواها

ولأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، يكلف كل استدعاء ناجح $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة، ولا يخصم invalid_input الرصيد أبدًا. حافظوا على قوائم قصيرة وثبّتوا JSON المتوقع الذهبي في الاختبارات لتحصلوا على جداول متقاربات قابلة لإعادة الإنتاج للتعليم والتقييم وعمال الحافة دون بنية رمزية خاصة بكم.

أسئلة تقنية

كيف أحصل على المتقاربات من كسر مستمر؟

أرسلوا partial_quotients كمصفوفة غير فارغة من أعداد صحيحة، مثل [3, 7, 15, 1]. تعيد API كل متقارب h_n/k_n مع البسط والمقام وسلسلة الكسر والقيمة العشرية.

هل يجب أن يكون كل معامل جزئي عددًا صحيحًا؟

نعم. تُرفض الأعداد غير الصحيحة والترميز العلمي والسلاسل غير الرقمية مع invalid_input مع تسمية الفهرس المخالف.

أي تراجع تستخدمه الحاسبة؟

البذور القياسية h−2=0 و h−1=1 و k−2=1 و k−1=0 ثم h_n = a_n·h_{n−1} + h_{n−2} و k_n = a_n·k_{n−1} + k_{n−2} لكل فهرس n.

كم تكلف حاسبة متقاربات الكسر المستمر؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُحاسب المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما المتقاربات وكيف يعمل التراجع

متى تفيدك متقاربات الكسر المستمر

حالات الاستخدام

فحوصات الصف والواجبات

تصحيح تلقائي للاختبارات وLMS

خطوط ديوفنطية وتقريبية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما المتقاربات وكيف يعمل التراجع

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء

أين تثبت API المتقاربات من CF جدواها

أسئلة تقنية

شكرًا