حد Calkin–Wilf
الحد الخامس في متتالية Calkin-Wilf هو 3/2، ونصل إليه من الجذر 1/1 بخطوة إلى اليسار ثم خطوة إلى اليمين. أدخل موضعًا من 1 إلى مليار لتحصل على الكسر المختزل ومساره. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 5
- البسط
- 3
- المقام
- 2
- الكسر
- 3/2
- المسار
- LR
شجرة Calkin–Wilf هي شجرة ثنائية كاملة عقدها هي الأعداد النسبية الموجبة تمامًا، كل منها مرة واحدة وبصورة مختزلة. قراءة الشجرة مستوى بمستوى (أو ترقيم العقد بالترتيب الطبيعي لكومة ثنائية يطابق المسار الثنائي للعدد الصحيح الموجب n) تنتج تعدادًا شهيرًا لـ Q+: متتالية Calkin–Wilf. الفهرس واحد هو كسر الجذر واحد على واحد؛ وكل فهرس لاحق يتبع مسارًا فريدًا يسار-يمين مُرمَّزًا بأرقام n الثنائية بعد بت الواحد الأمامي. يحتاج دارسو التوافقيات التعدادية والرياضيات المتقطعة وإعادة البناء النسبي إلى مُوَرِّد سريع يعيد البسط والمقام لأي فهرس آمن دون بناء الشجرة كاملة. تقبل هذه القدرة عددًا صحيحًا موجبًا n، وتمشي ذلك المسار بعدد قليل من جمع الأعداد الصحيحة، وتعيد الكسر المختزل a/b مع سلسلة مسار وصيغة قصيرة.
ما تعداد Calkin–Wilf وكيف يُعرَّف الكسر النوني
أشاع Neil Calkin وHerbert Wilf شجرة ثنائية بسيطة جدًا للنسبيات الموجبة: الجذر واحد على واحد؛ والابن الأيسر للكسر a على b هو a على (a زائد b)؛ والابن الأيمن هو (a زائد b) على b. يظهر كل نسبي موجب مرة واحدة فقط وبصورة مختزلة، فالشجرة تعداد لـ Q+ وصورة مختزلة قانونية لكل قيمة.
الفهرس الطبيعي n ذو الأساس واحد يعلّم العقد حسب موقعها في ترتيب الكومة الثنائية الكاملة: n يساوي واحدًا هو الجذر، n يساوي اثنين هو الابن الأيسر للجذر (نصف)، n يساوي ثلاثة هو الابن الأيمن (اثنان على واحد)، n يساوي أربعة هو الحفيد يسار-يسار (ثلث)، وهكذا. وبالمثل اكتبوا n ثنائيًا، احذفوا بت الواحد الأمامي الذي يعلّم الجذر دائمًا، وفسروا كل بت متبقٍ من الأعلى إلى الأدنى كحركة: الصفر يعني يسارًا والواحد يمينًا. بعد هذه الحركات تحصلون على الكسر المختزل الفريد a/b عند تلك العقدة.
تربط هوية كلاسيكية هذا المسار بمتتالية Stern الثنائية الذرية s: كسر Calkin–Wilf عند الفهرس n هو s(n) على s(n زائد واحد). ينفّذ هذا الطرف مسار الشجرة مباشرة لا جدول Stern منفصل، لكن الإجابات تطابق تلك الهوية لكل n موجب. ولأن كل خطوة تجمع عددين صحيحين موجبين فقط، فالخوارزمية حتمية وخفيفة التخصيص وخالية من تقريب الفاصلة العائمة — مثالية لمُوَرِّدات الواجبات وإضافات LMS ودفاتر البحث التي تحتاج بسطًا ومقامًا دقيقين لا كسورًا عشرية تقريبية.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الأخطاء
القيم دون واحد — بما فيها الصفر وكل فهرس سالب — تفشل برسالة واضحة أن فهرس Calkin–Wilf يجب ألا يقل عن واحد؛ ولا تُحتسب إخفاقات التحقق هذه. عند النجاح يعيد الجسم n، ويوفر numerator وdenominator كعددين صحيحين موجبين، وfraction كسلسلة بسط شرطة مائلة مقام، وformula كإعادة صياغة قصيرة لقواعد الجذر والأبناء وقاعدة المسار الثنائي، وpath كالحرفين L وR لحركات ما بعد الجذر (أو الكلمة root عندما يساوي n واحدًا). مثال: n يساوي واحدًا يعطي الكسر واحد شرطة مائلة واحد وpath هو root.
مثال: n يساوي خمسة ثنائيه واحد صفر واحد، بتّا المسار صفر ثم واحد، فيسار ثم يمين من واحد على واحد يعطي ثلاثة على اثنين، path هو LR. مثال: n يساوي سبعة له path RR والكسر ثلاثة على واحد. العملاء الذين يحتاجون النسبي فقط يقرأون fraction أو زوج الأعداد الصحيحة؛ ويمكن للمعلمين عرض path بجانب الجواب ليراجع الطلاب كل خطوة.
أين تثبت واجهة حد Calkin–Wilf جدواها
تستخدم مقررات التوافقيات التعدادية والرياضيات المتقطعة شجرة Calkin–Wilf عند تعليم التقابلات بين الأعداد الصحيحة الموجبة والنسبيات الموجبة وصلات الكسور المستمرة والمقارنات مع شجرة Stern–Brocot؛ وتسمح واجهة صغيرة لإضافات LMS بالتحقق من إجابات الطلاب لأي n دون شحن حزمة جبر حاسوبي كاملة. غالبًا ما تحتاج دفاتر البحث التي تستكشف التمثيلات فوق الثنائية أو عروض دالة علامة استفهام Minkowski أو استراتيجيات أخذ عينات نسبية إلى مُوَرِّد دقيق سريع للكسر النوني من Calkin–Wilf مع إبقاء الناتج مختزلًا بالبناء.
تستفيد مواقع المحتوى التي تُصنَّف على متتالية Calkin–Wilf أو حاسبة شجرة Calkin–Wilf من أداة حية يطابق مسار متصفحها المجاني مسار الأتمتة المدفوع على الوحدة النقية نفسها. أدوات الهندسة والتعليم التي تولّد نسبيات اختبار موجبة فريدة لاختبارات قائمة على الخصائص يمكنها سحب حدود متتالية بالفهرس بدل اختراع أزواج عشوائية غير مختزلة تحتاج لاحقًا تنظيف gcd. أبقوا الطلبات صغيرة، ووثّقوا أن n عدد صحيح موجب يبدأ من واحد، وعاملوا numerator وdenominator وfraction كحقول إجابة قانونية للفحوص الآلية.
حالات الاستخدام
فحوص الصف والواجبات
اسمحوا للطلاب بإرسال فهرس موجب n والتحقق من كسر Calkin–Wilf a/b وفق قواعد الابن الأيسر والأيمن، مع إظهار سلسلة المسار لرصيد جزئي.
تصحيح تلقائي لـ LMS والامتحانات
صحّحوا بنود تعداد Calkin–Wilf بمُوَرِّد حتمي يرفض n دون واحد ولا يخترع نسبيات غير مختزلة أو مكررة.
نسبيات اختبار موجبة فريدة
ولّدوا تيارًا من نسبيات موجبة مختزلة ومتمايزة بالفهرس لاختبارات قائمة على الخصائص دون استدعاء gcd على أزواج عشوائية.
الأسئلة الشائعة
كيف أحصل على الكسر النوني من Calkin–Wilf؟
أرسلوا عددًا صحيحًا موجبًا n (n ≥ 1).
ماذا يحدث إذا كان n صفرًا أو سالبًا؟
فهرس Calkin–Wilf المستخدم هنا عدد صحيح موجب يبدأ من واحد؛ تُرفض القيم دون واحد ولا تُحتسب.
هل الكسر المعاد دائمًا مختزل؟
نعم. كل عقدة في شجرة Calkin–Wilf أصلاً بصورة مختزلة، لذا numerator وdenominator أوليان فيما بينهما لكل n صالح.
ما الفرق عن متتالية Stern–Brocot؟
متتالية Stern الثنائية الذرية تعيد عددًا صحيحًا واحدًا s(n). حد Calkin–Wilf هو النسبي s(n)/s(n+1) (مكافئ لمسار الشجرة أعلاه). تختلف نية البحث وشكل المخرج: كسر مقابل قيمة ثنائية ذرية.
ماذا يعني المسار المكتوب بالحرفين L وR؟
اكتب n بالنظام الثنائي واحذف الرقم 1 الأول، فكل 0 متبقٍ خطوة إلى اليسار وكل 1 خطوة إلى اليمين من الجذر. في الموضع 5 يترك العدد الثنائي 101 الرقمين 0 و1، فيكون المسار LR وينتهي عند 3/2.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.calkin_wilf_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض الفهارس دون الواحد بـ invalid_input حتى لا تعامل أدوات التصحيح والسكربتات الصفر أو المواضع السالبة كحدود صالحة. المنطق النقي نفسه يغذي أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مسبقًا.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الأخطاء
أرسلوا جسم JSON بحقل إلزامي واحد n: عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي واحدًا، كعدد JSON أو كسلسلة أرقام عشرية، بحد أقصى مليار. تُقبل الأسماء البديلة index وorder بالمعنى نفسه. غياب n والسلاسل الفارغة وغير الأعداد الصحيحة والأعداد غير المنتهية والقيم فوق الحد الأقصى تفشل بـ invalid_input مع تسمية المشكلة. التنفيذ parse نقي من المستوى A: بلا شبكة ولا رموز نموذج ولا نظام ملفات، والوحدة نفسها تعمل في مسار المتصفح المجاني وعلى Worker الحافة دون اختلاف النتائج.
أين تثبت واجهة حد Calkin–Wilf جدواها
ولأن كل استدعاء ناجح يكلف السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد، والخوارزمية مجرد O(log n) من جمع الأعداد الصحيحة، تحصلون على كسور قابلة للتكرار للواجبات والتصحيح وعمال الحافة دون بنية ثقيلة لنظرية الأعداد.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة حد Calkin–Wilf؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والإدخال غير الصالح لا يُحتسب.