حاسبة توسعة بيرس
أدخل كسرًا بين 0 و1 واحصل على أرقام بيرس الدقيقة: الكسر 2/3 يعطي 1 و3، لأن 1/1 − 1/(1·3) يعيد بناء الثلثين. تعرض كل نتيجة السلسلة المتناوبة وقيمتها العشرية. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- القدرة (W)
- 2
- Q
- 3
- القيمة
- 0.6666666667
- الكسر
- 2/3
- p المختزل
- 2
- q المختزل
- 3
توسعة بيرس لعدد حقيقي يقع بصرامة بين الصفر والواحد هي المتتالية المتزايدة بصرامة والفريدة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تعيد بناء القيمة كمجموع متناوب لجداءات الوحدة: واحد على a1، ناقص واحد على a1 في a2، زائد واحد على a1 في a2 في a3، وهكذا. لكل عدد نسبي في الفترة الوحدوية المفتوحة سلسلة بيرس منتهية، فيمكن لتصحيح الواجبات ومصححي المسابقات ودفاتر نظرية الأعداد تثبيت قائمة أرقام دقيقة دون معاملات اقتطاع عائمة. تقبل حاسبة توسعة بيرس هذه البسط p والمقام غير الصفري q، وتشترط أن يحقق الكسر المختزل الصفر أقل من p على q أقل من واحد، وتعيد تسلسل الأرقام الكامل مع سلسلة توسعة مقروءة وقيمة عشرية معاد بناؤها.
ما توسعة بيرس وكيف تُبنى الأرقام
توسعة بيرس، وتُسمى أيضًا الجداء المصري المتناوب، تكتب عددًا x في الفترة الوحدوية المفتوحة على أنه يساوي واحدًا على a1 ناقص واحد على الجداء a1 a2 زائد واحد على a1 a2 a3 ناقص حد الجداء التالي، متتابعة بأعداد صحيحة موجبة متزايدة بصرامة a1 أصغر من a2 أصغر من a3 وهكذا. البناء ثنائي الروح مع توسعة إنجل الأشهر: تستخدم إنجل جداءات وحدة موجبة فقط، بينما تناوب بيرس إشارة كل حد جداء لاحق.
تبدأ الخوارزمية الكلاسيكية من الكسر نفسه، وتعيّن الرقم التالي كجزء صحيح لواحد على الباقي الحالي، ثم تستبدل الباقي بواحد ناقص ذلك الرقم مضروبًا في الباقي، وتكرر حتى يصبح الباقي صفرًا تمامًا. لكل نسبي ينتهي المسار بعد خطوات منتهية؛ ولغير النسبي سيستمر إلى ما لا نهاية، ولهذا يقبل هذا الطرف نسبة صحيحة دقيقة لا تقريبًا عائمًا.
فحص قصير من الكتب هو ثلثان: الجزء الصحيح لثلاثة أنصاف هو واحد، والباقي ثلث، والجزء الصحيح لثلاثة هو ثلاثة ويختفي الباقي، فتكون أرقام بيرس واحدًا وثلاثة، وتعيد السلسلة واحد على واحد ناقص واحد على واحد في ثلاثة بناء ثلثين بالضبط. فحص آخر هو نصف: رقم واحد هو اثنان يستعيد الكسر كواحد على اثنين.
ولأن كل رقم جديد يُجبر على أن يكون أكبر بصرامة من السابق بخريطة البواقي، لا تتسطح المتتالية أبدًا، وطول التوسعة لكسر مختزل p على q محدود نظريًا بنتائج كلاسيكية لإيردوس وشاليت ومؤلفين لاحقين؛ وتنتهي كسور الواجبات العملية في حفنة من خطوات صحيحة.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الخطأ
يجب أن تبقى القيم المطلقة ضمن نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة في JavaScript حتى يبقى كل جداء وسيط وباقٍ دقيقًا. بعد تطبيع الإشارة ليكون المقام موجبًا، يشترط المعالج شرط الفترة الوحدوية المفتوحة صفر أقل من p على q أقل من واحد؛ تُرفض القيم عند الصفر أو الواحد أو السالبة أو الأكبر من أو تساوي واحدًا برسالة واضحة بدل قائمة أرقام فارغة جوفاء. إذا كان q صفرًا يرفض المعالج بلغة القسمة على صفر للكسر p على q.
لا تُفوتر إخفاقات التحقق هذه. مثال: p يساوي اثنين وq يساوي ثلاثة يعطي الحدود واحدًا وثلاثة والتوسعة واحد على واحد ناقص واحد على واحد في ثلاثة والقيمة ثلثان. مثال: p يساوي ثلاثة وq يساوي سبعة يعطي جداءً متناوبًا قصيرًا يمكنكم إعادة بنائه يدويًا.
اقرنوا الأرقام برمز تقارباتكم أو مجموع الأخطاء إن احتجتم نظرية مترية أعمق؛ يوسّع هذا الطرف النسبي فقط.
حالات الاستخدام
فحوص سلسلة بيرس في الصف
اسمحوا للطلاب بإرسال p وq لكسر في (0,1) والتحقق من أرقام بيرس المتزايدة بصرامة مقابل خطوات باقي floor(1/x) المحلولة يدويًا.
تصحيح آلي للامتحانات وLMS
قيّموا بنود الجداء المصري المتناوب بأوراكل حتمي يرفض الكسور خارج (0,1) ولا يخترع أبدًا حدودًا إضافية لنسبي.
دفاتر تقارن توسعات السلاسل
احسبوا أرقام بيرس إلى جانب توسعات إنجل أو الكسر المستمر لنفس النسبي دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
ما توسعة بيرس لكسر؟
هي المتتالية المتزايدة بصرامة والفريدة من الأعداد الصحيحة الموجبة a1<a2<… بحيث يساوي الكسر 1/a1 − 1/(a1·a2) + 1/(a1·a2·a3) − … (جداء مصري متناوب). لكل نسبي في (0,1) توسعة منتهية.
أي كسور تقبلها الحاسبة؟
بسط صحيح p ومقام غير صفري q مع 0 < p/q < 1 بعد تطبيع الإشارة.
كيف تُحسب أرقام بيرس؟
عيّنوا a = floor(1/x) للباقي الحالي x، واستبدلوا x بـ 1 − a·x، وكرروا حتى يصير الباقي صفرًا. تستخدم كل الخطوات حسابًا صحيحًا دقيقًا على الكسر المختزل.
بم تختلف توسعة بيرس عن توسعة إنجل؟
تستخدم توسعة إنجل جداءات وحدة موجبة فقط بأرقام غير متناقصة. تناوب بيرس إشارة كل حد جداء لاحق وتفرض أرقامًا متزايدة بصرامة a1<a2<a3<….
ما توسعة بيرس للكسر 1/2؟
إنها رقم واحد فقط هو 2، لأن واحدًا على اثنين يساوي الكسر نفسه. الكسور الأطول تحتاج إلى أرقام أكثر، كل منها أكبر من السابق، حتى يصبح الباقي صفرًا تمامًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":2,"q":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 2,
"q": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 2,
"q": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":2,"q":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":2,"q":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pierce-expansion", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": 2,
"q": 3
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pierce_expansion",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تفشل الكسور خارج تلك الفترة المفتوحة والمقامات الصفرية وغير الصحيحة بـ invalid_input بدل اختراع حدود. يشغّل نفس وحدة التحليل النقية أداة المتصفح المجانية ومسار API، فتتفق أوراكل الصف والأتمتة دائمًا على أرقام بيرس لأي نسبة صحيحة آمنة داخل (0,1).
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وسلوك الخطأ
أرسل عبر POST جسم JSON يتضمن عددين صحيحين متناهيين إلزاميين: p البسط، وq المقام غير الصفري. قد يصل كل حقل كعدد JSON أو كسلسلة أرقام بعلامة اختيارية في البداية؛ تفشل غير الصحيحة والحقول الناقصة والسلاسل الفارغة بـ invalid_input مع تسمية الحقل. عند النجاح يعيد الجسم p وq الأصليين وسلسلة كسر وreduced_p وreduced_q بعد إلغاء القاسم المشترك الأكبر ومصفوفة terms لأرقام بيرس بالترتيب وlength مساويًا لحجم تلك المصفوفة وسلسلة expansion تكتب جداءات الوحدة المتناوبة بنقاط وسطى في المقامات وحقل value يساوي مجموع السلسلة مقربًا إلى خمس عشرة مرتبة عشرية للمقارنات المستقرة وسلسلة formula قصيرة تعيد تأكيد هوية بيرس.
أين تُثبت حاسبة توسعة بيرس قيمتها
تستخدم الفصول ومنصات التدريس حاسبة توسعة بيرس ليتحقق المتعلمون من جداءات مصرية متناوبة لكسور اعتباطية في الفترة الوحدوية المفتوحة دون أخطاء إشارة أو جزء صحيح. لا يستهلك التحقق الفاشل الرصيد. أبقوا الطلبات داخل الأعداد الصحيحة الآمنة وثبّتوا مصفوفة terms في اختبارات الانحدار لتحصلوا على أرقام بيرس قابلة لإعادة الإنتاج للواجبات وإضافات LMS والعاملين على الحافة دون اختراع اقتطاعات عائمة لتوسعة منتهية ودقيقة لكل نسبي في الفترة الوحدوية المفتوحة. يحتاج مولّدو الامتحانات والمسابقات إلى أوراكل حتمي يعلّم تسلسلات الأرقام الخاطئة ويرفض الكسور خارج الصفر والواحد بدل إرجاع حمولة نجاح فارغة قد يعاملها مصحح معطوب كصحيحة. تحتاج دفاتر نظرية الأعداد التي تقارن سلاسل إنجل وسيلفستر وبيرس على نفس النسبي إلى واجهة API نقية صغيرة لا تسحب أبدًا نظام جبر حاسوبي كامل لمسألة بعددين صحيحين. لأن التنفيذ تحليل نقي من المستوى A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة توسعة بيرس؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ لا تُفوتر المدخلات غير الصالحة.