Calculadora de expansión de Pierce

La expansión de Pierce de un número real estrictamente entre cero y uno es la única sucesión estrictamente creciente de enteros positivos que reconstruye el valor como suma alternada de productos unitarios: uno sobre a1, menos uno sobre a1 por a2, más uno sobre a1 por a2 por a3, y así sucesivamente. Todo racional en el intervalo unitario abierto tiene una serie de Pierce finita, de modo que las comprobaciones de deberes, los correctores de concursos y los cuadernos de teoría de números pueden fijar una lista exacta de dígitos sin parámetros de truncamiento en coma flotante. Esta calculadora de expansión de Pierce acepta el numerador p y el denominador no nulo q, exige que la fracción reducida cumpla cero menor que p sobre q menor que uno, y devuelve la secuencia completa de dígitos junto con una cadena de expansión legible y un valor decimal reconstruido.

Qué es una expansión de Pierce y cómo se construyen los dígitos

Una expansión de Pierce, también llamada producto egipcio alternado, escribe un número x en el intervalo unitario abierto como x igual a uno sobre a1 menos uno sobre el producto a1 a2 más uno sobre a1 a2 a3 menos el siguiente término de producto, continuando con enteros positivos estrictamente crecientes a1 menor que a2 menor que a3 y así sucesivamente.

La construcción es dual en espíritu a la más conocida expansión de Engel: Engel usa solo productos unitarios positivos, mientras que Pierce alterna el signo de cada término sucesivo del producto. El algoritmo clásico parte de la fracción misma, fija el siguiente dígito como la parte entera de uno sobre el resto actual, sustituye el resto por uno menos ese dígito por el resto, y repite hasta que el resto es exactamente cero.

Para todo racional el proceso termina tras un número finito de pasos; para irracionales continuaría indefinidamente, por eso este extremo acepta un cociente entero exacto y no una aproximación en coma flotante.

Una comprobación breve de libro es dos tercios: la parte entera de tres medios es uno, el resto es un tercio, la parte entera de tres es tres y el resto se anula, así que los dígitos de Pierce son uno y tres, y la serie uno sobre uno menos uno sobre uno por tres reconstruye exactamente dos tercios. Otra comprobación es un medio: un solo dígito dos recupera la fracción como uno sobre dos.

Como cada nuevo dígito queda forzado a ser estrictamente mayor que el anterior por el mapa de restos, la sucesión nunca se estanca, y la longitud de la expansión de una fracción reducida p sobre q está acotada en teoría por resultados clásicos de Erdős, Shallit y autores posteriores; las fracciones prácticas de deberes terminan en un puñado de pasos enteros.

Contrato de entrada, campos de respuesta y comportamiento de error

Los valores absolutos deben permanecer dentro del rango de enteros seguros de JavaScript para que todo producto e intermedio y resto sea exacto. Tras normalizar el signo de modo que el denominador sea positivo, el manejador exige la condición del intervalo unitario abierto cero menor que p sobre q menor que uno; los valores en cero, uno, negativos o mayores o iguales que uno se rechazan con un mensaje claro en lugar de una lista vacía de dígitos.

Si q es cero, el manejador rechaza con lenguaje de división por cero para la fracción p sobre q. Esos fallos de validación no se facturan. Ejemplo: p igual a dos y q igual a tres produce términos uno y tres, expansión uno sobre uno menos uno sobre uno por tres, y valor dos tercios.

Ejemplo: p igual a tres y q igual a siete produce un producto alternado corto que usted puede reconstruir a mano. Combine los dígitos con su propio código de convergentes o de suma de errores si necesita teoría métrica más profunda; este extremo solo expande el racional.