Calculateur d'expansion de Pierce

L'expansion de Pierce d'un nombre réel strictement compris entre zéro et un est l'unique suite strictement croissante d'entiers positifs qui reconstruit la valeur comme somme alternée de produits unitaires : un sur a1, moins un sur a1 fois a2, plus un sur a1 fois a2 fois a3, et ainsi de suite. Tout rationnel dans l'intervalle unitaire ouvert a une série de Pierce finie, de sorte que les contrôles de devoirs, les correcteurs de concours et les cahiers de théorie des nombres peuvent figer une liste exacte de chiffres sans paramètres de troncature en flottant. Ce calculateur d'expansion de Pierce accepte le numérateur p et le dénominateur non nul q, exige que la fraction réduite satisfasse zéro inférieur à p sur q inférieur à un, et renvoie la suite complète de chiffres avec une chaîne d'expansion lisible et une valeur décimale reconstruite.

Ce qu'est une expansion de Pierce et comment les chiffres se construisent

Une expansion de Pierce, aussi appelée produit égyptien alterné, écrit un nombre x dans l'intervalle unitaire ouvert comme x égal à un sur a1 moins un sur le produit a1 a2 plus un sur a1 a2 a3 moins le terme de produit suivant, en poursuivant avec des entiers positifs strictement croissants a1 inférieur à a2 inférieur à a3 et ainsi de suite.

La construction est duale en esprit de l'expansion d'Engel, plus connue : Engel n'utilise que des produits unitaires positifs, tandis que Pierce alterne le signe de chaque terme successif du produit. L'algorithme classique part de la fraction elle-même, fixe le chiffre suivant comme la partie entière de un sur le reste courant, remplace le reste par un moins ce chiffre multiplié par le reste, et répète jusqu'à ce que le reste soit exactement zéro.

Pour tout rationnel le processus s'arrête après un nombre fini d'étapes ; pour les irrationnels il continuerait indéfiniment, c'est pourquoi ce point d'accès accepte un quotient entier exact plutôt qu'une approximation flottante. Un contrôle court de manuel est deux tiers : la partie entière de trois demis est un, le reste est un tiers, la partie entière de trois est trois et le reste s'annule, donc les chiffres de Pierce sont un et trois, et la série un sur un moins un sur un fois trois reconstruit exactement deux tiers.

Un autre contrôle est un demi : un seul chiffre deux retrouve la fraction comme un sur deux. Comme chaque nouveau chiffre est forcé d'être strictement plus grand que le précédent par la carte des restes, la suite ne stagne jamais, et la longueur de l'expansion d'une fraction réduite p sur q est bornée en théorie par des résultats classiques d'Erdős, Shallit et d'auteurs ultérieurs ; les fractions pratiques de devoirs se terminent en une poignée d'étapes entières.

Contrat d'entrée, champs de réponse et comportement d'erreur

Les valeurs absolues doivent rester dans la plage des entiers sûrs de JavaScript afin que tout produit intermédiaire et reste soit exact. Après normalisation du signe pour un dénominateur positif, le gestionnaire exige la condition d'intervalle unitaire ouvert zéro inférieur à p sur q inférieur à un ; les valeurs en zéro, un, négatives ou supérieures ou égales à un sont rejetées avec un message clair plutôt qu'une liste vide de chiffres.

Si q vaut zéro, le gestionnaire rejette avec un langage de division par zéro pour la fraction p sur q. Ces échecs de validation ne sont pas facturés. Exemple : p égal à deux et q égal à trois produit les termes un et trois, l'expansion un sur un moins un sur un fois trois, et la valeur deux tiers.

Exemple : p égal à trois et q égal à sept produit un produit alterné court que vous pouvez reconstruire à la main. Associez les chiffres à votre propre code de convergents ou de somme d'erreurs si vous avez besoin d'une théorie métrique plus profonde ; ce point d'accès n'expanse que le rationnel.