Calcolatore espansione di Pierce

L'espansione di Pierce di un numero reale strettamente compreso tra zero e uno è l'unica successione strettamente crescente di interi positivi che ricostruisce il valore come somma alternata di prodotti unitari: uno su a1, meno uno su a1 per a2, più uno su a1 per a2 per a3, e così via. Ogni razionale nell'intervallo unitario aperto ha una serie di Pierce finita, così che i controlli dei compiti, i correttori di gare e i taccuini di teoria dei numeri possono fissare un elenco esatto di cifre senza parametri di troncamento in virgola mobile. Questo calcolatore di espansione di Pierce accetta il numeratore p e il denominatore non nullo q, richiede che la frazione ridotta soddisfi zero minore di p su q minore di uno, e restituisce la sequenza completa di cifre insieme a una stringa di espansione leggibile e a un valore decimale ricostruito.

Che cos'è un'espansione di Pierce e come si costruiscono le cifre

Un'espansione di Pierce, detta anche prodotto egizio alternato, scrive un numero x nell'intervallo unitario aperto come x uguale a uno su a1 meno uno sul prodotto a1 a2 più uno su a1 a2 a3 meno il termine di prodotto successivo, proseguendo con interi positivi strettamente crescenti a1 minore di a2 minore di a3 e così via. La costruzione è duale in spirito rispetto alla più nota espansione di Engel: Engel usa solo prodotti unitari positivi, mentre Pierce alterna il segno di ciascun termine successivo del prodotto.

L'algoritmo classico parte dalla frazione stessa, fissa la cifra successiva come la parte intera di uno sul resto corrente, sostituisce il resto con uno meno quella cifra per il resto, e ripete finché il resto è esattamente zero.

Un controllo breve da manuale è due terzi: la parte intera di tre mezzi è uno, il resto è un terzo, la parte intera di tre è tre e il resto si annulla, quindi le cifre di Pierce sono uno e tre, e la serie uno su uno meno uno su uno per tre ricostruisce esattamente due terzi. Un altro controllo è un mezzo: una sola cifra due recupera la frazione come uno su due.

Poiché ogni nuova cifra è costretta a essere strettamente maggiore della precedente dalla mappa dei resti, la successione non stagna mai, e la lunghezza dell'espansione di una frazione ridotta p su q è limitata in teoria da risultati classici di Erdős, Shallit e autori successivi; le frazioni pratiche dei compiti terminano in una manciata di passi interi.

Contratto di ingresso, campi di risposta e comportamento di errore

I valori assoluti devono restare nell'intervallo degli interi sicuri di JavaScript affinché ogni prodotto intermedio e resto sia esatto. Dopo aver normalizzato il segno così che il denominatore sia positivo, il gestore richiede la condizione dell'intervallo unitario aperto zero minore di p su q minore di uno; i valori in zero, uno, negativi o maggiori o uguali a uno vengono rifiutati con un messaggio chiaro anziché una lista vuota di cifre. Se q è zero, il gestore rifiuta con linguaggio di divisione per zero per la frazione p su q.

Tali fallimenti di validazione non vengono fatturati. Esempio: p uguale a due e q uguale a tre produce termini uno e tre, espansione uno su uno meno uno su uno per tre, e valore due terzi. Esempio: p uguale a tre e q uguale a sette produce un prodotto alternato breve che Lei può ricostruire a mano.