Pierce-Expansion-Rechner

Die Pierce-Expansion einer reellen Zahl strikt zwischen null und eins ist die eindeutige streng wachsende Folge positiver ganzer Zahlen, die den Wert als alternierende Summe von Einheitsprodukten wiederherstellt: eins über a1, minus eins über a1 mal a2, plus eins über a1 mal a2 mal a3 und so weiter. Jede rationale Zahl im offenen Einheitsintervall besitzt eine endliche Pierce-Reihe, sodass Hausaufgabenprüfungen, Wettbewerbskorrektoren und Hefte zur Zahlentheorie eine exakte Ziffernliste ohne Gleitkomma-Abschneideparameter festnageln können. Dieser Pierce-Expansion-Rechner nimmt den Zähler p und den nichtverschwindenden Nenner q entgegen, verlangt, dass der gekürzte Bruch null kleiner als p über q kleiner als eins erfüllt, und liefert die vollständige Ziffernfolge zusammen mit einer lesbaren Expansionszeichenkette und einem rekonstruierten Dezimalwert.

Was eine Pierce-Expansion ist und wie die Ziffern entstehen

Eine Pierce-Expansion, auch alterniertes ägyptisches Produkt genannt, schreibt eine Zahl x im offenen Einheitsintervall als x gleich eins über a1 minus eins über das Produkt a1 a2 plus eins über a1 a2 a3 minus den nächsten Produktterm, fortgesetzt mit streng wachsenden positiven ganzen Zahlen a1 kleiner als a2 kleiner als a3 und so weiter. Die Konstruktion ist im Geist dual zur bekannteren Engel-Expansion: Engel nutzt nur positive Einheitsprodukte, während Pierce das Vorzeichen jedes folgenden Produktterms wechselt.

Der klassische Algorithmus startet beim Bruch selbst, setzt die nächste Ziffer auf den ganzzahligen Anteil von eins über den aktuellen Rest, ersetzt den Rest durch eins minus diese Ziffer mal den Rest und wiederholt, bis der Rest genau null ist. Für jede rationale Zahl endet der Prozess nach endlich vielen Schritten; für Irrationale würde er unendlich fortlaufen, weshalb dieser Endpunkt ein exaktes ganzzahliges Verhältnis und keine Gleitkommanäherung annimmt.

Eine kurze Lehrbuchprüfung ist zwei Drittel: der ganzzahlige Anteil von drei Halben ist eins, der Rest ist ein Drittel, der ganzzahlige Anteil von drei ist drei und der Rest verschwindet, also sind die Pierce-Ziffern eins und drei, und die Reihe eins über eins minus eins über eins mal drei stellt zwei Drittel exakt wieder her. Eine weitere Prüfung ist ein Halb: eine einzelne Ziffer zwei liefert den Bruch als eins über zwei.

Weil jede neue Ziffer durch die Restabbildung streng größer als die vorige erzwungen wird, stagniert die Folge nie, und die Länge der Expansion eines gekürzten Bruchs p über q ist theoretisch durch klassische Resultate von Erdős, Shallit und späteren Autoren begrenzt; praktische Hausaufgabenbrüche enden in einer Handvoll ganzzahliger Schritte.