Calkin-Wilf-Bruchindex
Der Bruch 3/2 steht an 5. Stelle der Calkin-Wilf-Folge, zwei Ebenen unter der Wurzel 1/1. Geben Sie einen gekürzten Bruch mit Zähler und Nenner von 1 bis einer Million ein und erhalten Sie seine genaue Position und Tiefe. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 3
- B
- 2
- Bruch
- 3/2
- Index
- 5
- Tiefe
- 2
- Gcd
- 1
Der Calkin-Wilf-Baum zählt jede positive rationale Zahl genau einmal als gekürzten Bruch a über b auf. Studierende der diskreten Mathematik, enumerativen Kombinatorik und Kettenbrüche benötigen oft den Index eines gegebenen Bruchs in dieser Folge — die Breitenmarkierung des Baumknotens, der a/b trägt. Diese Fähigkeit nimmt zwei positive ganze Zahlen a und b entgegen, prüft, dass der Bruch bereits in niedrigsten Termen vorliegt, und liefert den einsbasierten Calkin-Wilf-Index zusammen mit der Pfadtiefe ab der Wurzel eins-über-eins.
Was die Calkin-Wilf-Folge jedem gekürzten Bruch zuweist
Der Calkin-Wilf-Baum ist ein gewurzelter Binärbaum, dessen Wurzel mit eins über eins beschriftet ist. Das linke Kind eines Knotens mit der Beschriftung a über b ist a über a plus b, und das rechte Kind ist a plus b über b. Jede positive rationale Zahl erscheint an genau einem Knoten, wenn sie in niedrigsten Termen geschrieben wird; deshalb ist die Aufzählung eine perfekte Liste von Q-plus und kein mehrwertiger Gang durch Äquivalente wie zwei Viertel.
Liest man den Baum in der natürlichen Heap-Reihenfolge — Wurzelindex eins, linkes Kind von n bei zwei n, rechtes Kind bei zwei n plus eins — entsteht die Calkin-Wilf-Folge: eins über eins, eins über zwei, zwei über eins, eins über drei, drei über zwei, zwei über drei, drei über eins und so weiter.
Bei einem gekürzten Paar a und b rekonstruiert dieses Werkzeug den eindeutigen Pfad von a über b zurück zur Wurzel, indem es wiederholt die Elternregel anwendet: ist a kleiner als b, war der Knoten ein linkes Kind und der Elternknoten ist a über b minus a; ist a größer als b, war er ein rechtes Kind und der Elternknoten ist a minus b über b. Die Kodierung dieses Pfads als Binärindex liefert die Folgenposition, ohne den gesamten Baum zu erzeugen.
Die Tiefe ist die Anzahl der Kanten ab der Wurzel, nützlich wenn die Höhe wichtiger ist als die dichte Binärmarkierung.
Wo der Calkin-Wilf-Index nützlich ist
Kurse in diskreter Mathematik und Wettkampfvorbereitungsplattformen nutzen einen Calkin-Wilf-Bruchindex-Rechner, damit Lernende die Position beliebiger gekürzter Rationaler prüfen können, ohne große Bäume von Hand zu zeichnen. Forschungsnotizen, die hyperbinäre Darstellungen, mit dem Minkowski-Fragezeichen verwandte Abbildungen oder Bijektionen zwischen N und Q-plus untersuchen, brauchen ein deterministisches Orakel, das ungekürzte Eingaben ablehnt statt still zu kürzen und von der Lehrbuchdefinition abzuweichen. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, vermeidet jeder erfolgreiche Aufruf Modell-Tokens und ausgehendes Netz.
Anwendungsfälle
Klassen- und Hausaufgabenkontrollen
Lassen Sie Lernende gekürzte a und b einreichen und den einsbasierten Calkin-Wilf-Index sowie die Pfadtiefe an den Lehrbuchzeichnungen prüfen.
Prüfungen und LMS-Autobewertung
Bewerten Sie Calkin-Wilf-Index-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das ungekürzte Brüche ablehnt statt sie still zu kürzen.
Forschungsnotizen und Bijektionsdemos
Bilden Sie positive Rationale auf natürliche Zahlen über die Calkin-Wilf-Beschriftung in Skripten ab, ohne eine vollständige Computeralgebrabibliothek einzubetten.
Häufige Fragen
Wie erhalte ich den Calkin-Wilf-Index eines Bruchs a/b?
Senden Sie positive ganze Zahlen a und b mit gcd(a,b)=1.
Was geschieht, wenn der Bruch nicht in niedrigsten Termen ist?
Calkin-Wilf-Markierungen sind für gekürzte Positive eindeutig; ungekürzte Eingabe wird abgelehnt und nicht berechnet. Zuerst kürzen, dann erneut versuchen.
Ist der Index nullbasiert oder einsbasiert?
Einsbasiert: 1/1 hat Index 1, 1/2 hat Index 2, 2/1 hat Index 3, entsprechend der üblichen Heap-Nummerierung des Baums.
Worin unterscheidet sich das vom Stern-Brocot-Baum?
Beide Bäume zählen Positive auf, aber Kindregeln und Reihenfolge unterscheiden sich.
Was sagt die Tiefe eines Bruchs aus?
Sie zählt die Schritte von der Wurzel 1/1 bis zum Bruch. Der Bruch 3/2 hat die Tiefe 2, denn er ist das rechte Kind von 1/2, und 1/2 ist das linke Kind der Wurzel.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"b": 2
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.calkin_wilf_index",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Nicht gekürzte Eingaben scheitern mit invalid_input, damit die Bijektion zwischen Positionen und gekürzten Positiven exakt bleibt.
Was die Calkin-Wilf-Folge jedem gekürzten Bruch zuweist
Weil die Abbildung auf gekürzten Positiven bijektiv ist, würde die Anfrage nach dem Index eines ungekürzten Bruchs die Eindeutigkeit brechen; die API lehnt daher einen gcd größer als eins ab, statt still zu kürzen und die Position einer anderen Markierung zurückzugeben.
Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten
Beispiel: a gleich drei und b gleich zwei ergibt den Bruch drei über zwei, Index fünf und Tiefe zwei, weil drei über zwei das rechte Kind von eins über zwei ist, das linke Kind der Wurzel. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Baumzeichnung, falls Sie ein Diagramm brauchen; dieser Endpunkt liefert nur Index und Tiefe und gibt keine Listen zwischengeschalteter Eltern aus jenseits dessen, was Sie mit denselben Regeln neu berechnen können. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen positiven ganzen Zahlen: a, dem Zähler, und b, dem Nenner. Aliase numerator, num und p werden für a akzeptiert; denominator, den und q für b. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als ganze Dezimalzeichenkette ankommen; führende Nullen, Brüche, wissenschaftliche Notation, Null und Negative scheitern mit invalid_input und nennen das Feld. Die Werte müssen zwischen eins und einer Million inklusive liegen, damit die Laufkosten des Gangs auf dem Worker begrenzt bleiben. Bei Erfolg spiegelt der Körper a und b, eine Bruchzeichenkette wie drei Schrägstrich zwei, den Index als JSON-Zahl wenn er in den sicheren Ganzzahlbereich passt oder als Dezimalzeichenkette sonst, die Pfadtiefe ab der Wurzel, gcd gleich eins und eine kurze Formel, die die Regeln für linkes und rechtes Kind wiederholt.
Wo eine Calkin-Wilf-Bruchindex-API ihren Nutzen zeigt
Curriculums-Generatoren und LMS-Autobewerter können Aufgaben, die den Index von drei Halben oder fünf Achteln verlangen, mit einem einzigen API-Aufruf zum veröffentlichten Basispreis $0.002 bewerten; ungültige gcd-Fälle bleiben kostenlos.
Technische Fragen
Was kostet der Calkin-Wilf-Bruchindex-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.