Índice Calkin-Wilf
La fracción 3/2 ocupa el 5.º lugar en la sucesión de Calkin-Wilf, dos niveles por debajo de la raíz 1/1. Escriba una fracción reducida con numerador y denominador de 1 a un millón y obtenga su posición exacta y su profundidad. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 3
- B
- 2
- Fracción
- 3/2
- Índice
- 5
- Profundidad
- 2
- Gcd
- 1
El árbol de Calkin-Wilf enumera cada número racional positivo exactamente una vez como fracción reducida a sobre b. Quienes estudian matemática discreta, combinatoria enumerativa y fracciones continuas suelen necesitar el índice de una fracción dada en esa sucesión: la etiqueta en orden de amplitud del nodo del árbol que lleva a/b. Esta capacidad acepta dos enteros positivos a y b, comprueba que la fracción ya esté en términos mínimos y devuelve el índice Calkin-Wilf con base uno junto con la profundidad del camino desde la raíz uno-sobre-uno.
Qué asigna la sucesión de Calkin-Wilf a cada fracción reducida
El árbol de Calkin-Wilf es un árbol binario enraizado cuya raíz se etiqueta uno sobre uno. El hijo izquierdo de un nodo etiquetado a sobre b es a sobre a más b, y el hijo derecho es a más b sobre b. Todo racional positivo aparece en exactamente un nodo cuando se escribe en términos mínimos, por eso la enumeración es un listado perfecto de Q-plus y no un recorrido multivaluado por equivalentes como dos cuartos.
Leer el árbol en el orden natural de montículo —índice de la raíz uno, hijo izquierdo de n en dos n, hijo derecho en dos n más uno— produce la sucesión de Calkin-Wilf: uno sobre uno, uno sobre dos, dos sobre uno, uno sobre tres, tres sobre dos, dos sobre tres, tres sobre uno, y así sucesivamente.
Dado un par reducido a y b, esta herramienta reconstruye el camino único desde a sobre b hasta la raíz aplicando repetidamente la regla del padre: si a es menor que b el nodo era hijo izquierdo y el padre es a sobre b menos a; si a es mayor que b era hijo derecho y el padre es a menos b sobre b. Codificar ese camino como índice binario recupera la posición en la sucesión sin generar el árbol completo.
La profundidad es el número de aristas desde la raíz, útil cuando importa la altura más que la etiqueta binaria densa.
Dónde resulta útil el índice Calkin-Wilf
Los cursos de matemática discreta y las plataformas de preparación para concursos usan una calculadora de índice Calkin-Wilf para que el alumnado compruebe la posición de racionales reducidos arbitrarios sin dibujar árboles grandes a mano. Los cuadernos de investigación que estudian representaciones hiperbinarias, mapas ligados al signo de interrogación de Minkowski o biyecciones entre N y Q-plus necesitan un oráculo determinista que rechace entradas no reducidas en lugar de simplificar en silencio y alejarse de la definición del libro.
Como la implementación es parse de nivel A puro, cada llamada exitosa evita tokens de modelo y red saliente.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones en clase y deberes
Permita que el alumnado envíe a y b reducidos y verifique el índice Calkin-Wilf con base uno y la profundidad del camino frente a los dibujos del libro.
Exámenes y corrección automática LMS
Califique ítems de índice Calkin-Wilf con un oráculo determinista que rechaza fracciones no reducidas en lugar de simplificar en silencio.
Cuadernos de investigación y demos de biyección
Mapee racionales positivos a naturales mediante el etiquetado Calkin-Wilf en scripts sin incrustar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo obtengo el índice Calkin-Wilf de una fracción a/b?
Envíe enteros positivos a y b con gcd(a,b)=1.
¿Qué ocurre si la fracción no está en términos mínimos?
Las etiquetas Calkin-Wilf son únicas para positivos reducidos; la entrada no reducida se rechaza y no se factura. Reduzca primero y reintente.
¿El índice es de base cero o de base uno?
De base uno: 1/1 tiene índice 1, 1/2 tiene índice 2, 2/1 tiene índice 3, según la numeración habitual de montículo del árbol.
¿En qué se diferencia del árbol de Stern-Brocot?
Ambos árboles enumeran positivos, pero las reglas de hijos y el orden difieren.
¿Qué indica la profundidad de una fracción?
Cuenta los pasos desde la raíz 1/1 hasta la fracción. La fracción 3/2 tiene profundidad 2, porque es el hijo derecho de 1/2, que a su vez es el hijo izquierdo de la raíz.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/calkin-wilf-index", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 3,
"b": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.calkin_wilf_index",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Las entradas no reducidas fallan con invalid_input para que la biyección entre posiciones y positivos reducidos se mantenga exacta.
Qué asigna la sucesión de Calkin-Wilf a cada fracción reducida
Como el mapa es biyectivo sobre positivos reducidos, pedir el índice de una fracción no reducida rompería la unicidad; la API rechaza por tanto un gcd mayor que uno en lugar de reducir en silencio y devolver la posición de otra etiqueta.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y comportamiento de error
Tras el análisis, el manejador calcula el gcd de a y b; si ese gcd no es exactamente uno, la tarea falla con un mensaje que indica que la fracción no está en términos mínimos y sugiere la forma reducida a dividido por g sobre b dividido por g. Ese fallo no se factura. Ejemplo: a igual a tres y b igual a dos produce la fracción tres sobre dos, índice cinco y profundidad dos, porque tres sobre dos es el hijo derecho de uno sobre dos, que es el hijo izquierdo de la raíz. Combine la respuesta con su propio dibujo del árbol si necesita un diagrama; este extremo devuelve solo el índice y la profundidad y no emite listas de padres intermedios más allá de lo que usted puede recalcular con las mismas reglas. Envíe por POST un cuerpo JSON con dos enteros positivos obligatorios: a, el numerador, y b, el denominador. Se aceptan los alias numerator, num y p para a; denominator, den y q para b. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena decimal entera; ceros a la izquierda, fracciones, notación científica, cero y negativos fallan con invalid_input nombrando el campo. Los valores deben estar entre uno y un millón inclusive para acotar el coste del recorrido en el Worker. En el éxito el cuerpo repite a y b, una cadena de fracción como tres barra dos, el índice como número JSON cuando cabe en el rango de enteros seguros o como cadena decimal cuando no, la profundidad del camino desde la raíz, gcd igual a uno y una fórmula breve que reafirma las reglas de hijo izquierdo y derecho.
Dónde una API de índice Calkin-Wilf aporta valor
Los generadores de currículo y los calificadores automáticos LMS pueden corregir ítems que piden el índice de tres medios o cinco octavos con una sola llamada API al precio base publicado $0.002, con casos de gcd inválido sin cargo.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora de índice de fracción Calkin-Wilf?
La herramienta en el navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.