ForHosting KIT · الرياضيات

مجموع متسلسلة بالكسور الجزئية

مجموع 1/(k(k+1)) من 1 إلى 10 يساوي 10/11 بالضبط. أدخلوا الفهرس الأعلى والإزاحتين p وq، فتفكك الأداة الحد إلى كسور جزئية وتحذف الأجزاء المتلاشية وتعطي الكسر المختزل. مجانًا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 10

تحصل على

A: 1
القدرة (W): 0
Q: 1
البداية: 1

تطلب مقررات كثيرة في التفاضل والتكامل وما قبله مجموع حدٍّ نسبيٍّ يتحلل إلى قطعتين خطيتين في الدليل k. الإجراء المعتاد في الصف هو تفكيك الحد إلى كسور جزئية، وإعادة كتابة كل مجموع كفرق كسور وحيدة أبسط، ومراقبة إلغاء معظم القطع الوسيطة وفق نمط تلسكوبي. تقوم حاسبة مجموع المتسلسلة بالكسور الجزئية هذه بأتمتة ذلك المسار بالضبط للحد العام a على (k زائد p) في (k زائد q). تقدّمون الدليل الأعلى n، والدليل الأدنى الاختياري start، والمعامل الاختياري a في البسط، والإزاحتين الصحيحين p و q. يعيد المحرك الكسر الدقيق المختزل، ومجموعًا عشريًا مستقرًا، وهوية الكسور الجزئية، والصيغة التلسكوبية المغلقة، والقوائم القصيرة لمقامات البقايا الموجبة والسالبة غير الملغاة. الحالات الكلاسيكية مثل واحد على k في k زائد واحد تظهر فورًا عندما يكون p صفرًا و q واحدًا.

الكسور الجزئية وسبب تلسكوب المتسلسلة

ابدؤوا من حد نسبي سليم في المتغير المنفصل k مقامه حاصل ضرب عاملين خطيين متمايزين. يعطي الجبر الهوية الابتدائية: a مقسومًا على (k زائد p) في (k زائد q) يساوي a على (q ناقص p) مضروبًا في فرق واحد على (k زائد p) وواحد على (k زائد q). عندما تكتبون ذلك الفرق لكل k من start إلى n وتجمعون، يظهر كل كسر وحيد داخلي مرة بإشارة موجبة ومرة بإشارة سالبة بعد عدد ثابت من الخطوات.

تلغى المساهمات الداخلية، فلا يبقى سوى كتلة قصيرة من بقايا موجبة قرب الدليل الأدنى وكتلة قصيرة من بقايا سالبة مباشرة بعد الدليل الأعلى. طول كل كتلة هو الفجوة المطلقة بين q و p. ضرب التركيبة المتبقية بالمقياس الثابت a على (q ناقص p) ينتج المجموع المنتهي الدقيق دون جمع n حدود عشرية منفصلة أبدًا.

تلك هي طريقة التلسكوب التي توضحها الكتب لواحد على k في k زائد واحد، وينطبق الإلغاء نفسه على واحد على k في k زائد اثنين، وواحد على (k زائد واحد) في (k زائد ثلاثة)، وأي زوج آخر من إزاحات صحيحة متمايزة. ترمّز هذه الحاسبة ذلك الإلغاء بحساب كسري دقيق عبر BigInt، فالكسر الذي ترونه مختزل بأقصى قاسم مشترك وليس تقديرًا مدورًا. إذا وقع قطب داخل مدى الجمع لأن بعض k يجعل k زائد p أو k زائد q صفرًا، تُرفض الطلبات بدل إرجاع مجموع لانهائي أو غير معرّف.

أين يبرهن جامع المتسلسلات بالكسور الجزئية فائدته

يستخدم المعلمون ومنصات الإرشاد حاسبة مجموع متسلسلة بالكسور الجزئية ليتحقق المتعلمون من الصيغ المغلقة لأي p و q و n دون أخطاء جبرية في محاسبة التلسكوب. تحتاج مولّدات الامتحانات ومصححات LMS الآلية إلى أوراكل حتمي يعيد الكسر المختزل ويرفض المديات الشاذة بدل إصدار NaN بصمت.

دفاتر الهندسة التي توسّع الدوال المولّدة أو نوى غرين المنفصلة تحتاج غالبًا إلى مجاميع جزئية دقيقة لنوى نسبية من شكل a على (k زائد p) في (k زائد q) قبل أخذ النهايات مع نمو n؛ استدعاء طرف parse صغير يجنب سحب نظام جبر حاسوبي كامل لمجموع تلسكوبي بعاملين. تستفيد مواقع المحتوى التي تستهدف استعلامات مثل حاسبة مجموع متسلسلة بالكسور الجزئية أو صيغة مغلقة لمتسلسلة نسبية تلسكوبية من ودجة حية يطابق مسارها المجاني مسار الأتمتة المدفوعة. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.

حافظوا على الطلبات صغيرة، وثبّتوا الكسر والمجموع المدور في الاختبارات، لتحصلوا على مجاميع قابلة للتكرار للواجبات وإضافات LMS وعمال الحافة دون بنية تحتية رمزية خاصة بكم.

حالات الاستخدام

فحوصات الواجبات والصف

تحققوا من الصيغ المغلقة ل Σ a/((k+p)(k+q)) بعد أن يفكك الطلاب الحد يدويًا ويلغوا القطع التلسكوبية.

دفاتر ونوى منفصلة

احصلوا على مجاميع منتهية دقيقة لنوى نسبية بعاملين في سكربتات دوال مولّدة أو حساب منفصل دون CAS.

الأسئلة الشائعة

كيف أجمع متسلسلة بالكسور الجزئية؟

أرسلوا الدليل الأعلى n (إلزامي) واختياريًا a و p و q و start.

لماذا يجب أن يختلف p عن q؟

عندما يساوي p قيمة q يكون المقام عاملًا خطيًا مكررًا ولا تنطبق هوية الفرق بحدّين للكسور الجزئية. اختاروا إزاحات متمايزة.

ماذا يحدث إن تلاشى عامل عند بعض k في المدى؟

العامل الصفري يجعل الحد العام غير معرّف، فلا يُعاد أي مجموع منتهٍ.

كم يساوي مجموع 1/(k(k+1)) من 1 إلى 10؟

يساوي 10/11 بالضبط، أي نحو 0.909090909090909. ينقسم كل حد إلى 1/k ناقص 1/(k+1)، فتتلاشى الأجزاء الوسطى ولا يبقى إلا 1 ناقص 1/11.

هل تأتي النتيجة كسرًا دقيقًا أم عددًا عشريًا؟

تأتي بالشكلين معًا. يُحسب المجموع بكسور دقيقة مختزلة إلى أبسط صورة، فترون الكسر والقيمة العشرية والأجزاء التي تبقى بعد التلاشي.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 10
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.series_sum_by_partial_fractions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

المنطق النقي نفسه لمسار parse يغذي الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API، فلا تختلف فحوصات الواجبات عن الأتمتة أبدًا.

عقد الإدخال والقيم الافتراضية وحقول الاستجابة

المعامل الاختياري a يساوي واحدًا افتراضيًا وقد يكون أي عدد منتهٍ. الصحيحان الاختياريان p و q يساويان صفرًا وواحدًا افتراضيًا، فتعمل المتسلسلة الكلاسيكية واحد على k في k زائد واحد ب n وحده. يجب أن تختلف الإزاحتان، وألا يتجاوز فرقهما المطلق خمسمائة حتى يبقى حاصل البقايا الدقيق عمليًا. أرسلوا جسم JSON بطريقة POST مع الدليل الأعلى الإلزامي n، عددًا صحيحًا من واحد إلى مليون. start الاختياري يساوي واحدًا افتراضيًا ويجب ألا يتجاوز n. تشمل الأسماء البديلة coefficient ل a و from ل start و to ل n. عند النجاح يكرر الحمولة a و p و q و start و n؛ ويبلغ عن sum كعشري مستقر؛ و fraction كسلسلة مختزلة مثل عشرة على أحد عشر؛ و numerator و denominator لتلك الصيغة المختزلة؛ و term كنص عرض للحد العام؛ و partial_fractions كهوية الفرق المقيّسة؛ و formula كالجمع المغلق الموسّع للكسور الوحيدة؛ و method بقيمة partial_fractions_telescoping؛ و telescoping_gap مساويًا ل q ناقص p؛ و positive_remainders و negative_remainders كمقامات صحيحة تبقى بعد الإلغاء؛ و max_n لسقف الدعم. غياب n، وغير الصحيح حيث يلزم الصحيح، و p يساوي q، والأقطاب على المدى، أو n دون start تفشل ب invalid_input ولا تُفوتر. اقرنوا ودجة المتصفح المجانية بنفس الوحدة النقية التي تستخدمها API حتى تبقى عروض الصف والتصحيح على الخادم متوافقة بايتًا ببايت على المدخلات ذاتها.

أين يبرهن جامع المتسلسلات بالكسور الجزئية فائدته

ولأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 دون رموز نموذج ولا شبكة صادرة.

حالات التكامل

تصحيح LMS والامتحانات آليًا

قيّموا بنود التلسكوب بالكسور الجزئية بكسر مختزل حتمي وارفضوا الأقطاب أو p=q ك invalid_input.

أسئلة تقنية

ما القيم الافتراضية إن أرسلت n فقط؟

a يساوي 1 و p يساوي 0 و q يساوي 1 و start يساوي 1، فتحصلون على Σ_{k=1}^{n} 1/(k(k+1)) = n/(n+1).

كم تكلفة حاسبة مجموع المتسلسلة بالكسور الجزئية؟

أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

الكسور الجزئية وسبب تلسكوب المتسلسلة

أين يبرهن جامع المتسلسلات بالكسور الجزئية فائدته

حالات الاستخدام

فحوصات الواجبات والصف

دفاتر ونوى منفصلة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

عقد الإدخال والقيم الافتراضية وحقول الاستجابة

أين يبرهن جامع المتسلسلات بالكسور الجزئية فائدته

حالات التكامل

تصحيح LMS والامتحانات آليًا

أسئلة تقنية

شكرًا