Somme de série par fractions partielles
La somme de 1/(k(k+1)) de 1 à 10 vaut exactement 10/11. Indiquez l’indice final et les décalages p et q : l’outil décompose le terme en fractions partielles, élimine les morceaux télescopiques et donne la fraction réduite. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 10
- A
- 1
- Puissance (W)
- 0
- Q
- 1
- Début
- 1
De nombreux cours de calcul et de précalcul demandent la somme d'un terme rationnel qui se factorise en deux morceaux linéaires selon l'indice k. La démarche classique en classe consiste à décomposer le terme en fractions partielles, à réécrire chaque somme comme différence de fractions unitaires plus simples, puis à voir la plupart des contributions intermédiaires s'annuler selon un schéma télescopique. Ce calculateur de somme de série par fractions partielles automatise exactement ce chemin pour le terme général a sur (k plus p) fois (k plus q). Le moteur renvoie la fraction exacte réduite, une somme décimale stable, l'identité de fractions partielles, la formule télescopique fermée et les courtes listes de dénominateurs résiduels positifs et négatifs non annulés. Les cas classiques comme un sur k fois k plus un s'obtiennent aussitôt lorsque p vaut zéro et q vaut un.
Fractions partielles et pourquoi la série se téléscope
Partez d'un terme rationnel propre en la variable discrète k dont le dénominateur est le produit de deux facteurs linéaires distincts. L'algèbre fournit l'identité élémentaire : a divisé par (k plus p) fois (k plus q) égale a sur (q moins p) multiplié par la différence de un sur (k plus p) et un sur (k plus q).
Lorsque vous écrivez cette différence pour chaque k de start à n et que vous additionnez, chaque fraction unitaire intérieure apparaît une fois avec un signe plus et une fois avec un signe moins un nombre fixe de pas plus tard. Ces contributions intérieures s'annulent, ne laissant qu'un court bloc de résidus positifs près de l'indice inférieur et un court bloc de résidus négatifs juste au-delà de l'indice supérieur. La longueur de chaque bloc est l'écart absolu entre q et p.
Multiplier la combinaison restante par l'échelle constante a sur (q moins p) produit la somme finie exacte sans jamais additionner n termes flottants séparément. C'est la méthode télescopique que les manuels illustrent pour un sur k fois k plus un, et la même annulation vaut pour un sur k fois k plus deux, un sur (k plus un) fois (k plus trois) et toute autre paire de décalages entiers distincts.
Ce calculateur encode cette annulation avec une arithmétique rationnelle exacte BigInt, de sorte que la fraction que vous voyez est réduite par le plus grand commun diviseur, et non un arrondi. Lorsqu'un pôle se trouverait dans l'intervalle de sommation parce qu'un certain k annule k plus p ou k plus q, la requête est rejetée au lieu de renvoyer un total infini ou indéfini.
Où un sommeur de séries par fractions partielles est utile
Les enseignants et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de somme de série par fractions partielles pour que les apprenants vérifient des formes fermées pour des p, q et n arbitraires sans erreurs algébriques dans la comptabilité télescopique. Les générateurs d'examens et les correcteurs automatiques de LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui renvoie la fraction réduite et rejette les intervalles singuliers au lieu d'émettre silencieusement NaN. Une validation échouée ne consomme pas le solde.
Gardez les requêtes petites, figez la fraction et la somme arrondie dans les tests, et vous obtenez des totaux reproductibles pour les devoirs, les plugins LMS et les workers en bordure sans déployer votre propre infrastructure symbolique.
Cas d’usage
Contrôles de devoirs et de classe
Vérifiez les formes fermées de Σ a/((k+p)(k+q)) après que les élèves ont décomposé le terme à la main et annulé les pièces télescopiques.
Carnets et noyaux discrets
Obtenez des sommes finies exactes de noyaux rationnels à deux facteurs dans des scripts de fonctions génératrices ou de calcul discret sans CAS.
Questions fréquentes
Comment sommer une série avec des fractions partielles ?
Envoyez l'indice supérieur n (obligatoire) et éventuellement a, p, q, start.
Pourquoi p et q doivent-ils être distincts ?
Lorsque p égale q, le dénominateur est un facteur linéaire répété et l'identité élémentaire de différence à deux termes des fractions partielles ne s'applique pas. Choisissez des décalages distincts.
Que se passe-t-il si un facteur s'annule pour un k de l'intervalle ?
Un facteur nul rend le terme général indéfini, donc aucune somme finie n'est renvoyée.
Combien vaut la somme de 1/(k(k+1)) de 1 à 10 ?
Exactement 10/11, soit environ 0,909090909090909. Chaque terme se sépare en 1/k moins 1/(k+1), les morceaux intermédiaires s’annulent et il ne reste que 1 moins 1/11.
Le résultat est-il une fraction exacte ou un décimal ?
Les deux. Le total est calculé avec des fractions exactes réduites au plus simple : vous voyez la fraction, le décimal et les morceaux qui subsistent après l’annulation.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 10
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.series_sum_by_partial_fractions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Vous fournissez l'indice supérieur n, l'indice inférieur optionnel start, le coefficient optionnel a du numérateur et les décalages entiers p et q. La même logique pure de parse alimente l'outil gratuit du navigateur et l'API, afin que les contrôles de devoirs et l'automatisation ne divergent jamais.
Contrat d'entrée, valeurs par défaut et champs de réponse
Le start optionnel vaut un par défaut et ne doit pas dépasser n. Le coefficient optionnel a vaut un par défaut et peut être tout nombre fini. Les entiers optionnels p et q valent zéro et un par défaut, de sorte que la série classique un sur k fois k plus un fonctionne avec n seul. Les deux décalages doivent différer, et leur différence absolue ne doit pas dépasser cinq cents pour que le produit exact des résidus reste pratique. Envoyez en POST un corps JSON avec l'indice supérieur obligatoire n, entier de un à un million. Les alias incluent coefficient pour a, from pour start et to pour n. En cas de succès, la charge utile répète a, p, q, start et n ; signale sum en décimal stable ; fraction sous forme de chaîne réduite, par exemple dix sur onze ; numerator et denominator de cette forme réduite ; term comme chaîne d'affichage du terme général ; partial_fractions comme l'identité de différence mise à l'échelle ; formula comme la combinaison fermée développée de fractions unitaires ; method égal à partial_fractions_telescoping ; telescoping_gap égal à q moins p ; positive_remainders et negative_remainders comme les dénominateurs entiers qui survivent à l'annulation ; et max_n pour le plafond pris en charge. Absence de n, non-entiers là où des entiers sont exigés, p égal à q, pôles sur l'intervalle ou n inférieur à start échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés.
Où un sommeur de séries par fractions partielles est utile
Les carnets d'ingénierie qui développent des fonctions génératrices ou des noyaux de Green discrets ont souvent besoin de sommes partielles exactes de noyaux rationnels de la forme a sur (k plus p) fois (k plus q) avant de prendre des limites lorsque n croît ; appeler un minuscule endpoint de parse évite de tirer un système d'algèbre computationnelle complet pour une somme télescopique à deux facteurs. Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Cas d'intégration
Notation automatique LMS et examens
Notez les items télescopiques par fractions partielles avec une fraction réduite déterministe et rejetez les pôles ou p=q comme invalid_input.
Questions techniques
Quelles valeurs par défaut s'appliquent si je n'envoie que n ?
a vaut 1, p vaut 0, q vaut 1 et start vaut 1, de sorte que vous obtenez Σ_{k=1}^{n} 1/(k(k+1)) = n/(n+1).
Combien coûte le calculateur de somme de série par fractions partielles ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.