Somme des n premiers cubes
Les 10 premiers cubes totalisent 3025, le carré du nombre triangulaire 55. Saisissez un entier n jusqu’à 13776 et obtenez le total exact, le nombre triangulaire qui l’engendre et la formule à placer à côté de votre réponse. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- N
- 10
- Sum
- 3 025
- Triangulaire
- 55
- Identité
- 1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
- Max n
- 13 776
La somme des n premiers cubes parfaits est une identité classique en forme fermée des mathématiques discrètes et du précalcul : un au cube plus deux au cube plus trois au cube et ainsi de suite jusqu’à n au cube égale le carré du nombre triangulaire n fois n plus un sur deux. Les étudiants rencontrent cette formule en apprenant les preuves par récurrence, les sommes de séries et le lien entre cubes et nombres triangulaires. Ingénieurs et scripts de données ont besoin de la même valeur sans parcourir un grand n lorsque seul le total compte. Ce calculateur de la somme des n premiers cubes accepte un entier n non négatif, évalue l’identité en arithmétique entière exacte et renvoie la somme, le nombre triangulaire intermédiaire et une courte chaîne de formule que vous pouvez afficher à côté de la réponse.
L’identité en forme fermée et pourquoi elle est exacte
Le théorème de Nicomaque affirme que la somme des n premiers cubes positifs égale le carré du n-ième nombre triangulaire. En symboles, un au cube plus deux au cube plus trois au cube jusqu’à n au cube est identique à la quantité n fois n plus un, divisée par deux, puis élevée au carré. Le nombre triangulaire T_n vaut n(n+1)/2 car c’est le nombre de points d’un triangle à n rangées, ou le nombre de paires formées en associant le premier au dernier parmi n plus un entiers consécutifs.
Élever T_n au carré donne la somme des cubes sans énumérer chaque cube. Pour n égal à un l’identité est triviale : un au cube vaut un et T_1 au carré vaut aussi un. Pour n égal à deux vous obtenez un plus huit égal neuf, et T_2 vaut trois, donc trois au carré vaut neuf.
Pour n égal à dix le triangulaire vaut cinquante-cinq et la somme des cubes vaut trois mille vingt-cinq. La preuve par récurrence mathématique est standard : le cas de base n égal à zéro ou un tient, et l’étape inductive utilise l’identité algébrique selon laquelle T_n au carré plus le cube suivant n plus un au cube égale T_{n+1} au carré. Comme chaque étape est de l’arithmétique entière exacte, il n’y a pas d’erreur d’arrondi tant que n reste dans la plage des entiers sûrs.
Ce calculateur n’approxime donc jamais la somme par accumulation flottante de cubes successifs ; il multiplie et divise une seule fois avec des intermédiaires grands entiers et renvoie un nombre qui correspond au calcul à la main et aux tables des manuels pour tout n pris en charge.
Salle de classe, automatisation et usages SEO
Les cours d’algèbre et de mathématiques discrètes utilisent un calculateur de la somme des n premiers cubes pour que les apprenants vérifient les devoirs d’induction et les exercices de séries sans erreurs d’arithmétique sur de grands n. Les générateurs d’examens et les plugins LMS ont besoin d’un oracle déterministe qui renvoie toujours la même somme pour le même n et qui échoue clairement sur une entrée négative plutôt que d’inventer une somme vide signée.
Gardez n dans la plage documentée, épinglez les exemples dorés en intégration continue, et vous obtenez des sommes de cubes reproductibles pour outils de devoirs, démos de séries et scripts de production sans déployer un système d’algèbre informatique pour une identité d’une ligne.
Cas d’usage
Devoirs et contrôles d’induction
Laissez les étudiants saisir n et vérifier que 1³+…+n³ égale (n(n+1)/2)² par rapport aux étapes de leur preuve par récurrence.
Notation automatique LMS et examens
Notez les items de somme de cubes avec un oracle déterministe qui rejette n négatif et ne s’écarte jamais de la forme fermée.
Questions fréquentes
Quelle formule utilise le calculateur de la somme des n premiers cubes ?
Il utilise le théorème de Nicomaque : 1³+2³+…+n³ = (n(n+1)/2)², le carré du n-ième nombre triangulaire, évalué en arithmétique entière exacte.
Que se passe-t-il si n est négatif ?
La somme des n premiers cubes est définie pour un décompte non négatif ; un n négatif n’est pas facturé.
Combien vaut la somme des 10 premiers cubes ?
Elle vaut 3025. Le dixième nombre triangulaire est 55, la somme des entiers de 1 à 10, et 55 au carré donne 3025, le même total qu’en additionnant chaque cube de 1 jusqu’à 1000.
Que dit le théorème de Nicomaque ?
Que la somme des n premiers cubes est égale au carré du n-ième nombre triangulaire, n(n+1)/2. Pour n égal à 2, 1 plus 8 font 9, et le triangulaire 3 au carré vaut aussi 9.
Existe-t-il une valeur maximale de n ?
Oui, n peut aller jusqu’à 13776. Cette limite garde le carré du nombre triangulaire dans la plage où les entiers sont conservés sans perte : chaque total est donc exact, jamais arrondi.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"n": 10
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.sum_of_cubes_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Le chemin navigateur et le chemin API partagent un même module pur, de sorte que les contrôles de devoirs et les pipelines de production ne divergent jamais sur les cas limites comme n égal à zéro ou la borne supérieure de la plage sûre.
Contrat d’entrée, champs de réponse et validation
Un n négatif est rejeté car l’expression n premiers cubes est définie pour un décompte non négatif ; n égal à zéro renvoie une somme nulle par la convention de somme vide. Une validation échouée ne consomme pas le solde prépayé. Associez ce point de terminaison à votre propre boucle seulement lorsque vous avez besoin de la liste partielle de chaque cube ; lorsque vous n’avez besoin que du total, la forme fermée est à la fois plus rapide et exempte d’erreur d’accumulation. Envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire n : un entier non négatif de zéro à treize mille sept cent soixante-seize. Les alias count et k sont acceptés afin que les scripts qui nomment déjà l’indice supérieur autrement n’aient pas besoin de renommage. Les valeurs peuvent arriver en nombres JSON ou en chaînes de chiffres décimaux ; les zéros en tête sur les chaînes multi-chiffres, la notation scientifique, les fractions, Infinity et NaN sont rejetés avec invalid_input. La borne supérieure est choisie pour que le triangulaire au carré tienne encore dans la plage des entiers sûrs de JavaScript, ce qui garde des résultats exacts une fois sérialisés en nombres JSON. En cas de succès la réponse répète n, renvoie sum comme total des n premiers cubes, triangular comme T_n égal à n(n+1)/2, formula comme la chaîne (n(n+1)/2)^2, identity comme un rappel lisible du théorème de Nicomaque, et max_n pour que les clients documentent la plage prise en charge sans coder en dur une constante magique.
Salle de classe, automatisation et usages SEO
Comme l’implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle et sans réseau sortant.
Cas d'intégration
Scripts et tests de régression de séries
Comparez une boucle sur les cubes à la somme en forme fermée en CI pour aligner le code d’agrégation cubique sur l’identité de Nicomaque.
Questions techniques
Quelles valeurs de n sont autorisées ?
Entiers non négatifs de 0 à 13776 inclus. n=0 renvoie la somme 0. Les valeurs au-dessus du maximum dépassent la plage d’entiers JSON sûrs et sont rejetées.
L’API parcourt-elle chaque cube en boucle ?
Non. Elle évalue la forme fermée (n(n+1)/2)² en temps constant avec des intermédiaires BigInt, de sorte que les résultats restent exacts sans accumuler d’erreur flottante.
Combien coûte le calculateur de somme de cubes ?
L’outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n’est pas facturée.