Soma dos primeiros n cubos
Os primeiros 10 cubos somam 3025, o quadrado do número triangular 55. Digite qualquer número inteiro n até 13776 e receba o total exato, o número triangular que o gera e a fórmula para mostrar junto da sua resposta. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 10
- Sum
- 3.025
- Triangular
- 55
- Identidade
- 1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
- Max n
- 13.776
A soma dos primeiros n cubos perfeitos é uma identidade clássica em forma fechada na matemática discreta e no pré-cálculo: um ao cubo mais dois ao cubo mais três ao cubo e assim até n ao cubo é igual ao quadrado do número triangular n vezes n mais um sobre dois. Os estudantes encontram essa fórmula ao aprender provas por indução, somas de séries e a relação entre cubos e números triangulares. Engenheiros e scripts de dados precisam do mesmo valor sem percorrer um n grande quando só o total importa. Esta calculadora da soma dos primeiros n cubos aceita um inteiro n não negativo, avalia a identidade com aritmética inteira exata e devolve a soma, o número triangular intermediário e uma string de fórmula curta que você pode mostrar ao lado da resposta.
A identidade em forma fechada e por que é exata
O teorema de Nicômaco afirma que a soma dos primeiros n cubos positivos é igual ao quadrado do n-ésimo número triangular. Em símbolos, um ao cubo mais dois ao cubo mais três ao cubo até n ao cubo coincide com a quantidade n vezes n mais um, dividida por dois e depois elevada ao quadrado.
O número triangular T_n vale n(n+1)/2 porque é assim que se contam os pontos de um triângulo com n fileiras, ou o número de pares formados ao emparelhar o primeiro com o último entre n mais um inteiros consecutivos. Elevar T_n ao quadrado produz a soma dos cubos sem enumerar cada um. Para n igual a um a identidade é trivial: um ao cubo é um e T_1 ao quadrado também é um.
Para n igual a dois você obtém um mais oito igual a nove, e T_2 é três, de modo que três ao quadrado é nove. Para n igual a dez o triangular é cinquenta e cinco e a soma dos cubos é três mil e vinte e cinco.
A prova por indução matemática é padrão: o caso base n igual a zero ou um se verifica, e o passo indutivo usa a identidade algébrica de que T_n ao quadrado mais o próximo cubo n mais um ao cubo iguala T_{n+1} ao quadrado. Como cada passo é aritmética inteira exata, não há erro de arredondamento enquanto n permanecer na faixa de inteiros seguros.
Por isso esta calculadora nunca aproxima a soma acumulando cubos em ponto flutuante; multiplica e divide uma vez com intermediários de inteiros grandes e devolve um número que coincide com o cálculo à mão e com as tabelas dos livros para todo n suportado.
Sala de aula, automação e usos de SEO
Cursos de álgebra e matemática discreta usam uma calculadora da soma dos primeiros n cubos para que os aprendizes verifiquem lições de indução e exercícios de séries sem deslizes aritméticos em n grandes. Geradores de exames e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que devolva sempre a mesma soma para o mesmo n e que falhe de forma clara com entrada negativa em vez de inventar uma soma vazia com sinal.
Mantenha n dentro da faixa documentada, fixe os exemplos dourados na integração contínua e você obtém somas de cubos reproduzíveis para ferramentas de lição, demos de séries e scripts de produção sem levantar um sistema de álgebra computacional por uma identidade de uma linha.
Casos de uso
Lição de casa e checagens de indução
Permita que os estudantes digitem n e verifiquem que 1³+…+n³ é igual a (n(n+1)/2)² em relação aos passos da prova por indução.
Correção automática em LMS e exames
Avalie itens de soma de cubos com um oráculo determinístico que rejeita n negativo e nunca se desvia da forma fechada.
Perguntas frequentes
Qual fórmula a calculadora da soma dos primeiros n cubos usa?
Usa o teorema de Nicômaco: 1³+2³+…+n³ = (n(n+1)/2)², o quadrado do n-ésimo número triangular, avaliado com aritmética inteira exata.
O que acontece se n for negativo?
A soma dos primeiros n cubos se define para uma contagem não negativa; n negativo não é cobrado.
Quanto dá a soma dos primeiros 10 cubos?
Dá 3025. O décimo número triangular é 55, a soma dos números de 1 a 10, e 55 ao quadrado resulta em 3025, o mesmo total de somar cada cubo de 1 até 1000.
O que diz o teorema de Nicômaco?
Que a soma dos primeiros n cubos é igual ao quadrado do n-ésimo número triangular, n(n+1)/2. Com n igual a 2, 1 mais 8 dá 9, e o triangular 3 ao quadrado também dá 9.
Existe um valor máximo de n?
Sim, n pode ir até 13776. Esse limite mantém o quadrado do número triangular dentro da faixa em que inteiros são guardados sem perda, então cada total sai exato, e não arredondado.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.sum_of_cubes_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O caminho do navegador e o da API compartilham um único módulo puro, de modo que checagens de lição de casa e pipelines de produção nunca discordam em casos-limite como n igual a zero ou o teto da faixa segura.
Contrato de entrada, campos de resposta e validação
A validação falha não consome saldo pré-pago. Envie um corpo JSON com um único campo obrigatório n: um inteiro não negativo de zero até treze mil setecentos e setenta e seis. Os aliases count e k são aceitos para que scripts que já nomeiam o índice superior de outra forma não precisem renomeá-lo. Os valores podem chegar como números JSON ou como strings de dígitos decimais; zeros à esquerda em strings de vários dígitos, notação científica, frações, Infinity e NaN são rejeitados com invalid_input. n negativo é rejeitado porque a expressão primeiros n cubos se define para uma contagem não negativa; n igual a zero devolve soma zero pela convenção de soma vazia. O teto superior é escolhido para que o triangular elevado ao quadrado ainda caiba na faixa de inteiros seguros do JavaScript, o que mantém resultados exatos ao serializá-los como números JSON. Em caso de sucesso a resposta ecoa n, devolve sum como o total dos primeiros n cubos, triangular como T_n igual a n(n+1)/2, formula como a string (n(n+1)/2)^2, identity como um restate legível do teorema de Nicômaco, e max_n para que os clientes documentem a faixa suportada sem fixar uma constante mágica. Combine este endpoint com o seu próprio laço só quando precisar da lista parcial de cada cubo; quando só precisar do total, a forma fechada é mais rápida e livre de erro de acumulação.
Sala de aula, automação e usos de SEO
Como a implementação é parse de nível A puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Scripts e testes de regressão de séries
Compare um laço sobre cubos com a soma em forma fechada no CI para que o código de agregação cúbica fique alinhado à identidade de Nicômaco.
Perguntas técnicas
Quais valores de n são permitidos?
Inteiros não negativos de 0 até 13776 inclusive. n=0 devolve soma 0. Valores acima do máximo excedem a faixa de inteiros JSON seguros e são rejeitados.
A API percorre cada cubo em laço?
Não. Avalia a forma fechada (n(n+1)/2)² em tempo constante com intermediários BigInt, de modo que os resultados permanecem exatos sem acumular erro de ponto flutuante.
Quanto custa a calculadora de soma de cubos?
A ferramenta do navegador é gratuita. As requisições API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.