ForHosting KIT · 数学

最初のn個の立方数の和

最初の 10 個の立方数の和は 3025 で、これは三角数 55 の2乗です。13776 までの整数 n を入力すると、厳密な合計、そのもとになる三角数、答えに添える公式が分かります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

N: 10

結果

Sum: 3,025
三角数: 55
恒等式: 1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
Max n: 13,776

最初のn個の完全立方数の和は、離散数学と微積分入門における古典的な閉形式の恒等式です。1の3乗からnの3乗までの和は、三角数n(n+1)/2の2乗に等しくなります。学習者は数学的帰納法、級数の和、立方数と三角数の関係を学ぶときにこの公式に出会います。技術者やデータ用スクリプトは、合計だけが必要なときに大きなnをループせずに同じ値を求めます。この最初のn個の立方数の和計算機は、非負整数nを受け取り、厳密な整数演算で恒等式を評価し、和・中間の三角数・答えの横に示せる短い数式文字列を返します。

閉形式の恒等式と厳密である理由

ニコマコスの定理によれば、最初のn個の正の立方数の和は第n三角数の2乗に等しくなります。記号では、1の3乗からnの3乗までの和は、nにn+1を掛けて2で割った量を2乗したものと同一です。三角数T_nはn(n+1)/2です。

これはn行の三角形に並ぶ点の数であり、連続するn+1個の整数を端から端へペアにしたときの組数でもあります。T_nを2乗すれば各立方を列挙せずに立方和が得られます。nが1のときは自明で、1の3乗は1、T_1の2乗も1です。

nが2のときは1+8=9となり、T_2は3なので3の2乗は9です。nが10のとき三角数は55、立方和は3025です。数学的帰納法による証明は標準的です。

基底はnが0または1で成り立ち、帰納段ではT_nの2乗に次の立方(n+1)の3乗を加えるとT_{n+1}の2乗になる代数恒等式を用います。各段が厳密な整数演算であるため、nが安全な整数範囲内にある限り丸め誤差は生じません。

したがって本計算機は連続する立方を浮動小数点で積み上げて近似することはなく、大きな整数の中間値で一度だけ乗除し、対応するすべてのnについて手計算や教科書の表と一致する数を返します。

入力のしかたと結果の見方

別名countとkも受け付けるため、上限インデックスを別の名前で扱うスクリプトでもリネーム不要です。負のnは「最初のn個の立方」が非負の個数として定義されるため拒否され、nが0のときは空和の慣例により和0を返します。検証失敗は前払い残高を消費しません。

各立方の部分リストが必要なときだけ自前のループと組み合わせてください。合計だけなら閉形式の方が速く、累積誤差もありません。

活用例

宿題と帰納法の確認

学習者にnを入力させ、帰納法の証明手順に対して1³+…+n³が(n(n+1)/2)²と一致するかを確認させます。

LMS・試験の自動採点

負のnを拒否し閉形式から逸脱しない決定論的オラクルで、立方和の問題を採点します。

よくある質問

最初のn個の立方数の和計算機はどの公式を使いますか？

ニコマコスの定理1³+2³+…+n³=(n(n+1)/2)²、すなわち第n三角数の2乗を、厳密な整数演算で評価します。

nが負の場合はどうなりますか？

最初のn個の立方の和は非負の個数として定義され、負のnは課金されません。

最初の10個の立方数の和はいくつですか？

3025 です。10 番目の三角数は 1 から 10 までの和の 55 で、55 を2乗すると 3025 になり、1 から 1000 までの各立方数を足した合計と一致します。

ニコマコスの定理とはどのようなものですか？

最初の n 個の立方数の和は、n 番目の三角数 n(n+1)/2 の2乗に等しいという定理です。n が 2 なら 1 と 8 の和は 9 で、三角数 3 の2乗も 9 になります。

入力できる n に上限はありますか？

はい、n は 13776 までです。この上限によって三角数の2乗が整数を正確に保てる範囲に収まるため、どの合計も丸めのない厳密な値になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 10
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.sum_of_cubes_formula",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

ブラウザ経路とAPI経路は同じ純粋モジュールを共有するため、宿題チェックと本番パイプラインが、nが0の場合や安全範囲の上限といった境界で食い違うことはありません。

入力契約・応答フィールド・検証

必須フィールドはnのみで、0から13776までの非負整数をJSON本体で送ってください。値はJSON数値または十進数字列でよく、複数桁の先頭ゼロ・科学記法・分数・Infinity・NaNはinvalid_inputで拒否されます。上限は、三角数の2乗がJavaScriptの安全な整数範囲に収まるように選ばれており、JSON数値として直列化しても結果は厳密です。成功時はnをエコーし、最初のn個の立方の合計をsum、T_n=n(n+1)/2をtriangular、文字列(n(n+1)/2)^2をformula、ニコマコスの定理の読みやすい言い換えをidentity、サポート範囲をマジック定数なしで示せるmax_nを返します。

教室・自動化・SEOでの利用

代数や離散数学の授業では、最初のn個の立方数の和計算機を使い、大きなnでも帰納法の宿題や級数演習を検算できます。試験生成器やLMSプラグインには、同じnに対して常に同じ和を返し、負の入力では空の符号付き和を捏造せず明確に失敗する決定論的オラクルが必要です。実装は純粋なparseのティアAのため、成功した呼び出しは毎回公開の基本料金$0.002で、モデルのトークンも外向きネットワークもありません。

連携の活用例

スクリプトと級数の回帰テスト

CIで立方のループと閉形式の和を比較し、立方集約コードがニコマコスの恒等式と揃うようにします。

技術的な質問

許可されるnの値は？

0から13776までの非負整数です。n=0は和0を返します。最大を超える値は安全なJSON整数範囲を超えるため拒否されます。

APIは各立方をループしますか？

いいえ。閉形式(n(n+1)/2)²をBigInt中間値で定数時間評価するため、浮動小数の累積誤差なく厳密な結果を保ちます。

立方和計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。APIは成功した呼び出しごとに前払いKIT残高から$0.002を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →