ForHosting KIT · 数学

部分分数による級数和

1/(k(k+1)) を 1 から 10 まで足すと、ちょうど 10/11 です。上限の番号とずれ p、q を入力すると、項を部分分数に分け、打ち消し合う部分を消して、約分した分数を示します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

N: 10

結果

A: 1
電力（W）: 0
Q: 1
開始: 1

微積分やその準備課程では、添字 k について二つの一次因子に分解される有理項の和を求める問題が多く出ます。教室での定石は、項を部分分数に分け、各和を単純な単位分数の差に書き直し、中間項の多くが望遠鏡型に打ち消される様子を確認することです。この部分分数による級数和計算機は、一般項 a を (k プラス p) と (k プラス q) の積で割った形について、その手順をそのまま自動化します。上限添字 n、任意の下限 start、任意の分子係数 a、整数シフト p と q を指定してください。エンジンは既約の厳密分数、安定した小数和、部分分数の恒等式、閉じた望遠鏡公式、打ち消されなかった正と負の残余分母の短い一覧を返します。p が 0 で q が 1 のときは、1 を k と (k プラス 1) の積で割る古典例が直ちに得られます。

部分分数と級数が望遠鏡型になる理由

離散変数 k に関する真分数有理項から始め、分母が相異なる二つの一次因子の積である場合を考えます。代数から、a を (k プラス p) と (k プラス q) の積で割ったものは、a を (q マイナス p) で割った定数に、1/(k+p) と 1/(k+q) の差を掛けたものに等しい、という基本恒等式が得られます。

start から n までの各 k についてその差を書き足し合わせると、内部の単位分数は一定ステップ後に一度プラス、一度マイナスで現れます。内部寄与は打ち消し合い、下限付近の正の残余の短い列と、上限の直後の負の残余の短い列だけが残ります。各ブロックの長さは q と p の絶対差です。

残りに定数スケール a/(q−p) を掛ければ、n 個の浮動小数を個別に足さなくても厳密な有限和が得られます。これが教科書が 1/(k(k+1)) で示す望遠鏡法であり、1/(k(k+2)) や 1/((k+1)(k+3)) など、相異なる整数シフトの任意の対でも同じ打ち消しが働きます。

本計算機はその打ち消しを厳密な BigInt 有理演算で符号化するため、表示される分数は最大公約数で既約化されたものであり、丸め推測ではありません。ある k で k+p または k+q が 0 になり極が和の範囲内に入る場合は、無限や未定義の合計を返す代わりに要求を拒否します。

部分分数による級数和が役立つ場面

指導者や学習支援プラットフォームは、任意の p, q, n について閉形式を検算し、望遠鏡の帳尻合わせでの代数ミスを避けるために部分分数による級数和計算機を使います。試験生成器や LMS 自動採点には、既約分数を返し特異区間を拒否する決定的オラクルが必要で、黙って NaN を出すわけにはいきません。検証失敗は残高を消費しません。

要求を小さく保ち、テストで分数と丸めた和を固定すれば、宿題・LMS プラグイン・エッジワーカー向けに再現可能な合計が得られ、自前の記号計算基盤は不要です。

活用例

宿題・授業での検算

学習者が手で項を分解し望遠鏡片を打ち消したあと、Σ a/((k+p)(k+q)) の閉形式を確認します。

ノートと離散核

生成関数や離散微積のスクリプトで、二因子有理核の厳密有限和を CAS なしで得ます。

よくある質問

部分分数で級数をどう足しますか？

上限添字 n（必須）と任意で a, p, q, start を送ってください。

なぜ p と q は異なる必要がありますか？

p が q と等しいと分母は重複一次因子となり、二項目の部分分数差の基本恒等式が使えません。異なるシフトを選んでください。

1/(k(k+1)) を 1 から 10 まで足すといくつですか？

ちょうど 10/11 で、およそ 0.909090909090909 です。各項は 1/k − 1/(k+1) に分かれ、途中の部分が打ち消し合って 1 − 1/11 だけが残ります。

結果は厳密な分数ですか、それとも小数ですか？

両方です。合計は厳密な分数で計算して既約分数にするため、分数と小数の両方に加え、打ち消されずに残る部分も確認できます。

範囲内のある k で分母が 0 になるとどうなりますか？

その場合は計算を受け付けず、無限大や定義されない合計を返すことはありません。開始番号や p、q を見直し、範囲内のどの k でも分母が 0 にならないようにしてください。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 10
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.series_sum_by_partial_fractions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

同じ純粋な parse 論理が無料ブラウザツールと API の両方を動かすため、宿題の検算と自動化が食い違うことはありません。

入力契約・既定値・応答フィールド

任意の start は既定 1 で n を超えてはなりません。任意の係数 a は既定 1 で、任意の有限数で構いません。任意の整数 p と q は既定 0 と 1 なので、n だけでも古典系列 1/(k(k+1)) が動きます。二つのシフトは相異し、絶対差は残余の厳密積が実用的であるよう 500 を超えてはなりません。必須の上限添字 n（1 から 100 万までの整数）を含む JSON 本体を POST してください。別名は a に coefficient、start に from、n に to です。成功時、ペイロードは a, p, q, start, n をエコーし、sum を安定小数、fraction を例えば 10/11 のような既約文字列、numerator と denominator、一般項の表示用 term、スケール付き差の恒等式 partial_fractions、単位分数の展開閉形式 formula、method を partial_fractions_telescoping、telescoping_gap を q−p、打ち消し後に残る正負の分母 positive_remainders と negative_remainders、上限 max_n を返します。n 欠落、整数必須箇所の非整数、p=q、範囲上の極、n が start 未満は invalid_input で失敗し課金されません。

部分分数による級数和が役立つ場面

生成関数や離散 Green 核を展開する工学ノートでは、n を大きくする前に a/((k+p)(k+q)) 形の有理核の厳密部分和がしばしば要り、小さな parse エンドポイントを呼べば二因子の望遠鏡和のために巨大な数式処理系を持ち込む必要がありません。実装は純粋 parse の tier A のため、成功した各呼び出しは公開の基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。

連携の活用例

LMS・試験の自動採点

部分分数の望遠鏡問題を決定的な既約分数で採点し、極や p=q は invalid_input として拒否します。

技術的な質問

n だけ送ったときの既定値は？

a は 1、p は 0、q は 1、start は 1 なので、Σ_{k=1}^{n} 1/(k(k+1)) = n/(n+1) が得られます。

範囲内のある k で因子が消えるとどうなりますか？

極を示す invalid_input で失敗します。零因子は一般項を未定義にするため、有限和は返りません。

部分分数による級数和計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。API は成功呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

部分分数による級数和

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関連ツール

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エンドポイント

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リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

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