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望遠鏡和計算機

Q: このアルゴリズムはランダム化されていますか?

いいえ。 決定的な整数算術を使います。同じnは常に同じ分数と同じ小数値を返します。

1/(k(k+1))の最初の10項の和は、ちょうど10/11です。項の数を入力すると、部分和を既約分数と小数で表示します。丸めた項を足し合わせるのではなく、整数の正確な計算で求めます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

N: 10

結果

和: 0.9090909091
分数: 10/11
分子: 10
分母: 11

各項は単位分数の差である1/k − 1/(k+1)に分解できるため、中間の項が打ち消し合い、和全体は1 − 1/(n+1)に収束します。古典的な部分和は最初の正のインデックスから始まるためです。微積分の宿題や部分分数のデモ、コンテスト対策にはブラウザで無料でご覧ください。

望遠鏡和とは何か、なぜn/(n+1)に等しいのか

望遠鏡級数とは、部分分数分解の後に連続する項が打ち消し合い、最初の正の部分と最後の負の部分だけが残る和のことです。すべての中間分数は1回プラスの符号で、1回マイナスの符号で現れるため、ペアで打ち消し合います。残るのは単純に1 − 1/(n+1)で、これを1つの分数n/(n+1)に書き換えられます。

インデックスn、浮動小数点の和、既約分数の文字列、分子と分母、閉形式の公式、元の級数のパターン、部分分数の恒等式、サポートされる最大インデックスが返されます。有効な正のインデックスは常に決定的な結果で成功します。確率的な経路も、教科書の恒等式からずれうる浮動小数点の累積もありません。

望遠鏡和が学習・コンテスト・自動化で果たす役割

学生は、部分分数と級数収束の定義を学ぶ微積分の早い段階で望遠鏡級数に出会います。教師は、浮動小数点の項を累積したり大きな有理数を黙って指数表記に変換したりする不透明な電卓アプリを信用せずにワークシートの解答例を生成できます。

コンテストの練習では、ループを書いたりOEISの数列を調べたりせずに解答を確認できるよう、1/(k×(k+1))の部分和の高速なオフラインソースがよく必要とされます。パズルやゲームのデザイナーは、1という水平漸近線に近づくリソースコストに望遠鏡型の成長曲線を使います。

開発者は、同じ契約を使って記号代数ライブラリのサンプルデータを検証したり、既知の有理数の部分和が必要なプロパティテストのシードにしたり、シミュレーションのステップの前に調和級数風の打ち消しが閉形式と一致するかを事前確認したりします。

重なり合う区間の連続的な打ち消しをモデル化するデータパイプラインは、連続する単位分数の差に対応する深さパラメータから閉形式の残差が必要になることがあります。他の古典的な閉形式が必要な場合は等比数列ツールと、関連する整数級数の恒等式が必要な場合は立方数の和や四面体数のヘルパーとも組み合わせてください。

活用例

宿題と部分分数の確認

項を手で打ち消したり浮動小数点のループを信用したりせずに、ワークシートやコンテストのチェック用にΣ 1/(k(k+1))を計算します。

決定的なテストフィクスチャ

静的テーブルを埋め込まずに、単体テストやプロパティチェック、CIアサーション向けに再現性のある望遠鏡型の部分和を生成します。

望遠鏡型の打ち消しの指導

無料でブラウザ上で入力をライブに変えながら、nがn/(n+1)にどう対応するかを学生に示します。

よくある質問

和はどう計算されますか?

エンジンは正確な整数算術で閉形式n/(n+1)を評価します。逆数の浮動小数点ループは使わないため、整数nに対して分数は常に正確です。

なぜこの級数は望遠鏡状に打ち消し合うのですか?

各項1/(k(k+1))は1/k − 1/(k+1)に等しくなります。

このアルゴリズムはランダム化されていますか?

いいえ。決定的な整数算術を使います。同じnは常に同じ分数と同じ小数値を返します。

1/(k(k+1))の最初の10項の和はいくつですか？

ちょうど10/11です。10個の項は打ち消し合って1 − 1/11になり、計算機は既約分数の10/11と小数の値を一緒に表示するので、問題の答えをすぐに確かめられます。

無限に続く望遠鏡級数はどの値に収束しますか？

1に収束します。部分和n/(n+1)は項を増やすほど1に近づきますが、有限の和は常にわずかに1を下回ります。9項なら9/10、10項なら10/11です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 10
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.telescoping_sum",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

望遠鏡和計算機は、k=1からnまでの1/(k×(k+1))の部分和を評価し、正確な閉形式n/(n+1)を既約分数と小数の両方で返します。よくある確認例として、n=1で1/2、n=2で2/3、n=3で3/4、n=9で9/10になります。この機能は純粋なparseエンジンです:決定的な整数算術を使い、ランダム性のサンプリングも時計の読み取りも通信も一切行いません。n が1未満の値はinvalid_inputで拒否されます。採点スクリプトやパイプラインで再現性のある望遠鏡和の回答が必要な場合は、成功したリクエストごとに$0.002のAPIをご利用ください。

望遠鏡和とは何か、なぜn/(n+1)に等しいのか

1/(k×(k+1))の項の級数は教科書的な例です:各項は1/k − 1/(k+1)に分解されるため、k=1からnまでの部分和を書き出すと、1 − 1/2、+1/2 − 1/3、+1/3 − 1/4…と続き、最後は1/n − 1/(n+1)になります。n=1のとき和は1/2、2のとき2/3、5のとき5/6、10のとき10/11です。したがって無限級数はnが限りなく大きくなるにつれて1に収束し、部分和はすべての正の整数nに対して正確な有理数n/(n+1)です。この機能は、浮動小数点の逆数をループするのではなく、正確な整数算術でこの閉形式を評価するため、中間の打ち消しが下位ビットを失うことはなく、JSONの結果は常に既約分数とその小数近似の両方を報告します。nの欠落、非整数、分数、指数表記、サポート範囲外の値、1未満のnはすべてinvalid_inputと明確なメッセージで失敗します。

入力の読み取り方と閉形式の正確さの保ち方

先頭の任意のプラス記号は許可されますが、埋め込まれた空白、16進数のプレフィックス、指数表記は不正なスプレッドシートのセルが誤った分数にすり替わることを防ぐため拒否されます。出力を、他の古典的な閉形式が必要な場合は等比数列のヘルパーと、有理数の望遠鏡和ではなく整数の図形数の恒等式が必要な場合は立方数の和のツールと組み合わせてください。唯一の必須フィールドは部分和の正の整数上限nで、フォームやクエリ文字列が1つの契約を再利用できるよう、count・termsというエイリアスも受け付けます。1未満のnは明示的なメッセージとともに拒否されます:ここでの望遠鏡和は、最初の正のインデックスk=1から始まる通常の定義に一致するようn≥1を要求します。100万を超える値は、APIが有界に保たれ、小数への変換が単純で安全な整数除算のままであるよう拒否されます。内部では、エンジンは分数n/(n+1)を組み立て、分子と分母の最大公約数(連続する整数では常に1ですが、明確さと将来の拡張のために簡約のステップは残されています)で簡約し、その比のIEEE-754倍精度値もsumフィールドとして返します。

望遠鏡和が学習・コンテスト・自動化で果たす役割

このページでは処理はすべてブラウザ内で完結し、API経由では成功した照会1件ごとに$0.002かかり、検証に失敗した場合は課金されず、レスポンスを返した後は何も保存されません。無料のインタラクティブな検証と、同一の結果を返す有料APIというこの分離はKITのtier Aカタログ全体の方針と一致しており、教室でのデモから自動パイプラインへ、数学的な結果を変えることなく移行できます。

技術的な質問

望遠鏡和計算機の料金は?

このページのブラウザ上では無料です。API経由では成功したリクエストごとに$0.002かかり、無効な入力には課金されません。

nが1未満の場合はどうなりますか?

リクエストはinvalid_inputで失敗します。k=1からnまでの1/(k(k+1))の部分和にはn≥1が必要なため、0や負のインデックスは拒否されます。

KITの完全なドキュメントを見る →

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望遠鏡和とは何か、なぜn/(n+1)に等しいのか

望遠鏡和が学習・コンテスト・自動化で果たす役割

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決定的なテストフィクスチャ

望遠鏡型の打ち消しの指導

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

望遠鏡和とは何か、なぜn/(n+1)に等しいのか

入力の読み取り方と閉形式の正確さの保ち方

望遠鏡和が学習・コンテスト・自動化で果たす役割

技術的な質問

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