مجموع السلسلة التلسكوبية
مجموع أول 10 حدود من 1/(k(k+1)) يساوي 10/11 تمامًا. أدخل عدد الحدود واحصل على المجموع الجزئي كسرًا مختزلًا وعددًا عشريًا، محسوبًا بحساب دقيق للأعداد الصحيحة لا بجمع حدود مقرّبة. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 10
- المجموع
- 0.9090909091
- الكسر
- 10/11
- البسط
- 10
- المقام
- 11
تحسب حاسبة مجموع السلسلة التلسكوبية المجموع الجزئي لواحد على k في k زائد واحد من k يساوي واحدًا حتى n، وتُعيد الصيغة المغلقة الدقيقة n على n زائد واحد ككسر مبسَّط وكعدد عشري معًا. ولأن كل حد يتحلل كفرق كسرين وحديين، واحد على k ناقص واحد على k زائد واحد، تُلغى الحدود الوسيطة وينهار المجموع كله إلى واحد ناقص واحد على n زائد واحد. تشمل الفحوص الكلاسيكية نصفًا ل n يساوي واحدًا، وثلثين ل n يساوي اثنين، وثلاثة أرباع ل n يساوي ثلاثة، وتسعة أعشار ل n يساوي تسعة. هذه القدرة محرك تحليل خالص: يستخدم حسابًا صحيحًا حتميًا، ولا يأخذ عينات عشوائية أبدًا، ولا يقرأ الساعة أبدًا، ولا يتصل بالشبكة أبدًا.
ما المجموع التلسكوبي ولماذا يساوي n/(n+1)
السلسلة التلسكوبية مجموع تُلغى فيه الحدود المتتالية بعد تحليل الكسور الجزئية، تاركة فقط القطع الموجبة الأولى والقطعة السالبة الأخيرة. سلسلة الحدود واحد على k في k زائد واحد هي المثال المدرسي: يتحلل كل حد كواحد على k ناقص واحد على k زائد واحد، فكتابة المجموع الجزئي من k يساوي واحدًا إلى n ينتج واحدًا ناقص نصفًا، زائد نصفًا ناقص ثلثًا، زائد ثلثًا ناقص ربعًا، وهكذا حتى واحد على n ناقص واحد على n زائد واحد. يظهر كل كسر وسيط مرة بإشارة موجبة ومرة بإشارة سالبة، فتُلغى في أزواج.
يتبقى ببساطة واحد ناقص واحد على n زائد واحد، والذي يُعاد كتابته ككسر واحد n على n زائد واحد. ل n يساوي واحدًا المجموع نصف؛ ولاثنين ثلثان؛ ولخمسة خمسة أسداس؛ ولعشرة عشرة أحد عشر. لذا تتقارب السلسلة اللانهائية إلى واحد مع نمو n دون حدود، والمجموع الجزئي هو الكسر النسبي الدقيق n على n زائد واحد لكل عدد صحيح موجب n.
تحصل على الدليل n، والمجموع بفاصلة عائمة، وسلسلة الكسر المبسَّط، والبسط والمقام، والصيغة المغلقة، ونمط السلسلة الأصلي، ومتطابقة الكسر الجزئي، وأقصى دليل مدعوم. الأدلة الموجبة الصالحة تنجح دائمًا بنتيجة حتمية؛ فلا مسار احتمالي ولا تراكم فاصلة عائمة قد ينحرف عن المتطابقة المدرسية.
أين تُستخدم المجاميع التلسكوبية في الدراسة والمسابقات والأتمتة
يواجه الطلاب السلاسل التلسكوبية مبكرًا في التفاضل والتكامل عند تعلّم الكسور الجزئية وتعريف تقارب السلاسل. ويستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابة لأوراق العمل دون الوثوق بتطبيقات حاسبة مبهمة تراكم حدودًا بفاصلة عائمة أو تحوّل أعدادًا نسبية كبيرة إلى صيغة علمية بصمت. وكثيرًا ما تحتاج ممارسة المسابقات إلى مصدر سريع دون اتصال للمجاميع الجزئية لواحد على k في k زائد واحد حتى تُتحقَّق الحلول دون كتابة حلقة أو البحث في متتاليات OEIS.
ويستخدم مصممو الألغاز والألعاب منحنيات نمو تلسكوبية لتكاليف موارد تقترب من مقارب أفقي عند واحد. ويستخدم المطورون العقد نفسه للتحقق من بيانات عيّنة لمكتبات الجبر الرمزي، ولتغذية اختبارات خصائص تحتاج مجاميع جزئية نسبية معروفة، أو للتحقق مسبقًا من أن إلغاءً بنمط توافقي يطابق صيغة مغلقة قبل خطوة محاكاة. وتحتاج خطوط أنابيب البيانات التي تنمذج إلغاءً متتاليًا لفترات متداخلة أحيانًا إلى باقٍ مغلق الصيغة من معامل عمق يقابل فروق كسور وحدية متتالية.
اجمعها مع أدوات المتتالية الهندسية عندما تحتاج صيغًا مغلقة كلاسيكية أخرى، ومع مساعدات مجموع المكعبات أو الأعداد رباعية السطوح عندما تحتاج متطابقات متسلسلة صحيحة ذات صلة.
حالات الاستخدام
الواجبات وفحوص الكسور الجزئية
احسب Σ 1/(k(k+1)) لأوراق العمل وفحوص المسابقات دون إلغاء الحدود يدويًا أو الوثوق بحلقات بفاصلة عائمة.
ثوابت اختبار حتمية
ولّد مجاميع جزئية تلسكوبية قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وفحوص الخصائص وتأكيدات التكامل المستمر دون تضمين جداول ثابتة.
تعليم الإلغاء التلسكوبي
أظهر للطلاب كيف يقابل n قيمة n/(n+1) بينما يغيّرون المدخلات مباشرة في المتصفح بلا تكلفة.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب المجموع؟
يحسب المحرك الصيغة المغلقة n/(n+1) بحساب أعداد صحيحة دقيق. لا تُستخدم حلقة بفاصلة عائمة على المقلوبات، فالكسر دائمًا دقيق ل n صحيح.
هل الخوارزمية عشوائية؟
لا. تستخدم حسابًا صحيحًا حتميًا. تنتج n نفسها دائمًا الكسر نفسه والقيمة العشرية نفسها.
لماذا تتلاشى حدود هذه السلسلة؟
لأن كل حد يساوي 1/k ناقص 1/(k+1). عند كتابة المجموع يظهر كل كسر وسيط مرة موجبًا ومرة سالبًا فيلغي أحدهما الآخر، ولا يبقى إلا 1 ناقص 1/(n+1).
إلى أي قيمة تتقارب السلسلة التلسكوبية اللانهائية؟
تتقارب إلى 1. يقترب المجموع الجزئي n/(n+1) من 1 كلما أضفت حدودًا، لكن أي مجموع منتهٍ يبقى أقل منه بقليل، مثل 9/10 بعد تسعة حدود أو 10/11 بعد عشرة.
ما قيم n التي تقبلها الحاسبة؟
تقبل أي عدد صحيح من 1 حتى 1000000. ترفض الحاسبة الكسور والأعداد العشرية والقيم الأقل من 1، لأن المجموع يبدأ من الحد الأول الموجب.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 10
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.telescoping_sum",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض قيم n الأقل من واحد برمز invalid_input لأن المجموع الجزئي الكلاسيكي يبدأ عند أول دليل موجب. استكشف مجانًا في المتصفح لواجبات التفاضل والتكامل وعروض الكسور الجزئية والتحضير للمسابقات، أو استدعِ واجهة برمجة التطبيقات (API) بتكلفة $0.002 لكل طلب ناجح عندما تحتاج نصوص التصحيح وخطوط الأنابيب إلى إجابات تلسكوبية قابلة لإعادة الإنتاج.
ما المجموع التلسكوبي ولماذا يساوي n/(n+1)
تحسب هذه القدرة تلك الصيغة المغلقة بحساب أعداد صحيحة دقيق بدل التكرار على مقلوبات بفاصلة عائمة، فلا يفقد الإلغاء الوسيط أبدًا بتات منخفضة الرتبة، وتذكر نتيجة JSON دائمًا كسرًا مبسَّطًا بجانب تقريبه العشري. غياب n، والأعداد غير الصحيحة، والكسور، والصيغة العلمية، والقيم خارج النطاق المدعوم، وأي n أقل من واحد، كلها تفشل برمز invalid_input برسالة واضحة.
كيف تُقرأ المدخلات وكيف تبقى الصيغة المغلقة دقيقة
تُقبل إشارة الجمع البادئة الاختيارية؛ أما المسافات الداخلية وبادئات الست عشري والصيغة الأسّية فتُرفض حتى لا تتحول خلية جدول بيانات خاطئة إلى كسر خاطئ. تُرفض قيم n الأقل من واحد برسالة صريحة: يتطلب المجموع التلسكوبي هنا n أكبر من أو يساوي واحدًا، بما يوافق التعريف المعتاد الذي يبدأ عند أول دليل موجب k يساوي واحدًا. اقرن الناتج بمساعدات المتتالية الهندسية عندما تحتاج صيغًا مغلقة كلاسيكية أخرى، أو بأدوات مجموع المكعبات عندما تفضّل متطابقات صحيحة شكلية بدل تلسكوبية نسبية. الحقل المطلوب الوحيد هو n، حد أعلى صحيح موجب للمجموع الجزئي، بأسماء بديلة count وterms حتى تعيد النماذج وسلاسل الاستعلام استخدام عقد واحد. تُرفض القيم فوق مليون حتى تبقى واجهة برمجة التطبيقات محدودة ويبقى تحويل الكسر العشري قسمة صحيحة آمنة بسيطة. داخليًا يكوّن المحرك الكسر n على n زائد واحد، ويبسّطه بالقاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام (وهو دائمًا واحد لأعداد صحيحة متتالية، لكن خطوة التبسيط تبقى للوضوح وللامتدادات المستقبلية)، ويُعيد أيضًا مضاعَف IEEE-754 لتلك النسبة كحقل sum.
أين تُستخدم المجاميع التلسكوبية في الدراسة والمسابقات والأتمتة
في هذه الصفحة يعمل كل شيء داخل متصفحك بالكامل؛ وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف كل استعلام ناجح $0.002، ولا تُفرض رسوم على التحقق الفاشل، ولا يُخزَّن شيء بعد إعادة الرد. هذا الفصل — استكشاف تفاعلي مجاني وواجهة برمجة تطبيقات مدفوعة مطابقة له — يوافق بقية فئة A من فهرس KIT، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
أسئلة تقنية
كم تكلّف حاسبة مجموع السلسلة التلسكوبية؟
هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف الطلب الناجح $0.002؛ ولا تُفرض رسوم على المدخلات غير الصالحة.
ماذا يحدث إذا كانت n أقل من 1؟
يفشل الطلب برمز invalid_input. يتطلب المجموع الجزئي ل 1/(k(k+1)) من k=1 إلى n أن تكون n أكبر من أو يساوي واحدًا، فتُرفض الأدلة الصفرية والسالبة.
لماذا تتحول هذه السلسلة تلسكوبيًا؟
كل حد 1/(k(k+1)) يساوي 1/k − 1/(k+1). فعند الجمع من k=1 إلى n، تُلغى الكسور الوسيطة ويتبقى فقط 1 − 1/(n+1)، وهو n/(n+1).