Suma de serie telescópica
Los 10 primeros términos de 1/(k(k+1)) suman exactamente 10/11. Indique cuántos términos quiere y obtenga la suma parcial como fracción reducida y como decimal, calculada con aritmética exacta de enteros, nunca sumando términos redondeados. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 10
- Suma
- 0,9090909091
- Fracción
- 10/11
- Numerador
- 10
- Denominador
- 11
La calculadora de suma de serie telescópica evalúa la suma parcial de uno sobre k por k más uno, desde k igual a uno hasta n, y devuelve la fórmula cerrada exacta n sobre n más uno, tanto como fracción reducida como en decimal. Como cada término se factoriza como una diferencia de fracciones unitarias, uno sobre k menos uno sobre k más uno, los términos intermedios se cancelan y toda la suma colapsa a uno menos uno sobre n más uno. Comprobaciones clásicas incluyen un medio para n igual a uno, dos tercios para n igual a dos, tres cuartos para n igual a tres, y nueve décimos para n igual a nueve. Esta capacidad es un motor de análisis puro: usa aritmética entera determinista, nunca muestrea aleatoriedad, nunca lee el reloj y nunca llama a la red.
Qué es la suma telescópica y por qué es igual a n/(n+1)
Una serie telescópica es una suma en la que términos consecutivos se cancelan tras una descomposición en fracciones parciales, dejando solo las primeras piezas positivas y la última pieza negativa.
La serie de términos uno sobre k por k más uno es el ejemplo de libro de texto: cada sumando se descompone como uno sobre k menos uno sobre k más uno, así que escribir la suma parcial desde k igual a uno hasta n produce uno menos un medio, más un medio menos un tercio, más un tercio menos un cuarto, y así sucesivamente hasta uno sobre n menos uno sobre n más uno.
Cada fracción intermedia aparece una vez con signo más y una vez con signo menos, así que se cancelan por pares. Lo que queda es simplemente uno menos uno sobre n más uno, que se reescribe como la única fracción n sobre n más uno. Para n igual a uno la suma es un medio; para dos es dos tercios; para cinco es cinco sextos; para diez es diez onceavos.
La serie infinita, por lo tanto, converge a uno a medida que n crece sin límite, y la suma parcial es el racional exacto n sobre n más uno para todo entero positivo n. Usted recibe el índice n, la suma en punto flotante, la cadena de fracción reducida, el numerador y el denominador, la fórmula cerrada, el patrón de serie original, la identidad de fracción parcial, y el índice máximo admitido.
Los índices positivos válidos siempre tienen éxito con un resultado determinista; no hay vía probabilística ni acumulación de punto flotante que pudiera desviarse de la identidad de libro de texto.
Dónde encajan las sumas telescópicas en el estudio, los concursos y la automatización
Los estudiantes se encuentran con las series telescópicas temprano en cálculo, cuando aprenden fracciones parciales y la definición de convergencia de series. Los docentes pueden generar claves de respuesta para hojas de trabajo sin confiar en apps de calculadora opacas que acumulan términos de punto flotante o que convierten en silencio racionales grandes a notación científica.
La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de sumas parciales de uno sobre k por k más uno para que las soluciones puedan verificarse sin escribir un bucle ni buscar sucesiones de OEIS. Los diseñadores de rompecabezas y juegos usan curvas de crecimiento telescópico para costos de recursos que se aproximan a una asíntota horizontal de uno.
Los desarrolladores usan el mismo contrato para validar datos de muestra de bibliotecas de álgebra simbólica, para sembrar pruebas de propiedades que necesitan sumas parciales racionales conocidas, o para comprobar de antemano que una cancelación de estilo armónico coincide con una fórmula cerrada antes de un paso de simulación. Las canalizaciones de datos que modelan la cancelación sucesiva de intervalos superpuestos a veces necesitan un residuo de forma cerrada a partir de un parámetro de profundidad que se mapea a diferencias sucesivas de fracciones unitarias.
Combínela con herramientas de sucesión geométrica cuando necesite otras fórmulas cerradas clásicas, y con ayudantes de suma de cubos o números tetraédricos cuando necesite identidades de series enteras relacionadas.
Qué puede hacer con ella
Tareas y comprobaciones de fracciones parciales
Calcule Σ 1/(k(k+1)) para hojas de trabajo y comprobaciones de concurso sin cancelar términos a mano ni confiar en bucles de punto flotante.
Enseñanza de la cancelación telescópica
Muestre a los estudiantes cómo n se mapea a n/(n+1) mientras cambian las entradas en vivo en el navegador sin costo.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta la calculadora de suma de serie telescópica?
Es gratis en su navegador en esta página.
¿Cómo se calcula la suma?
El motor evalúa la fórmula cerrada n/(n+1) con aritmética entera exacta. No se usa ningún bucle de punto flotante sobre recíprocos, así que la fracción siempre es exacta para n entero.
¿Por qué se telescopia la serie?
Cada término 1/(k(k+1)) es igual a 1/k − 1/(k+1).
¿El algoritmo es aleatorizado?
No. Usa aritmética entera determinista. El mismo n siempre produce la misma fracción y el mismo valor decimal.
¿Hacia qué valor converge la serie telescópica infinita?
Converge a 1. La suma parcial n/(n+1) se acerca a 1 a medida que se añaden términos, pero toda suma finita queda justo por debajo, como 9/10 con nueve términos o 10/11 con diez.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/telescoping-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 10
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.telescoping_sum",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los valores de n por debajo de uno se rechazan con invalid_input porque la suma parcial clásica comienza en el primer índice positivo. Explórela gratis en el navegador para tareas de cálculo, demostraciones de fracciones parciales y preparación de concursos, o llame a la API a $0.002 por solicitud exitosa cuando los scripts de calificación y las canalizaciones necesiten respuestas telescópicas reproducibles.
Qué es la suma telescópica y por qué es igual a n/(n+1)
Esta capacidad evalúa esa fórmula cerrada con aritmética entera exacta en lugar de iterar sobre recíprocos de punto flotante, así que la cancelación intermedia nunca pierde bits de orden inferior y el resultado JSON siempre reporta una fracción reducida junto con su aproximación decimal. Un n ausente, valores no enteros, fracciones, notación científica, valores fuera del rango admitido, y cualquier n por debajo de uno fallan con invalid_input y un mensaje claro.
Cómo se leen las entradas y cómo se mantiene exacta la fórmula cerrada
Se permiten signos más iniciales opcionales; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y la notación exponencial se rechazan para que una celda mal escrita de hoja de cálculo no se convierta en una fracción incorrecta. Los valores de n por debajo de uno se rechazan con un mensaje explícito: la suma telescópica aquí requiere n mayor o igual a uno, coincidiendo con la definición habitual que comienza en el primer índice positivo k igual a uno. Combine la salida con ayudantes de series geométricas cuando necesite otras fórmulas cerradas clásicas, o con herramientas de suma de cubos cuando prefiera identidades figuradas enteras en lugar de la cancelación telescópica racional. El único campo requerido es n, un límite superior entero positivo para la suma parcial, con los alias count y terms para que formularios y cadenas de consulta puedan reutilizar un solo contrato. Los valores por encima de un millón se rechazan para que la API se mantenga acotada y la conversión decimal siga siendo una simple división de enteros seguros. Internamente, el motor forma la fracción n sobre n más uno, la reduce por el máximo común divisor del numerador y el denominador (que siempre es uno para enteros consecutivos, pero el paso de reducción se mantiene por claridad y para extensiones futuras), y también devuelve el doble IEEE-754 de esa razón como el campo sum.
Dónde encajan las sumas telescópicas en el estudio, los concursos y la automatización
En esta página el trabajo se ejecuta enteramente en su navegador; a través de la API cada consulta exitosa cuesta $0.002, la validación fallida no se cobra y no se guarda nada después de devolver la respuesta. Esa división —exploración interactiva gratuita y una API de pago idéntica— coincide con el resto del catálogo de nivel A del KIT y le permite pasar de una demostración de aula a una canalización automatizada sin cambiar el resultado matemático.
Casos de integración
Fixtures de prueba deterministas
Genere sumas parciales telescópicas reproducibles para pruebas unitarias, comprobaciones de propiedades y aserciones de CI sin incrustar tablas estáticas.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si n está por debajo de 1?
La solicitud falla con invalid_input. La suma parcial de 1/(k(k+1)) desde k=1 hasta n requiere n mayor o igual a uno, así que se rechazan los índices cero y negativos.