Soma de séries por frações parciais
A soma de 1/(k(k+1)) de 1 a 10 é exatamente 10/11. Informe o índice final e os deslocamentos p e q: a ferramenta decompõe o termo em frações parciais, cancela as partes telescópicas e entrega a fração reduzida. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 10
- A
- 1
- Potência (W)
- 0
- Q
- 1
- Início
- 1
Muitos cursos de cálculo e pré-cálculo pedem a soma de um termo racional que se fatora em duas peças lineares no índice k. O procedimento padrão em sala é decompor o termo em frações parciais, reescrever cada parcela como diferença de frações unitárias mais simples e observar a maioria dos trechos intermediários se cancelarem em um padrão telescópico. Esta calculadora de soma de séries por frações parciais automatiza esse caminho exato para o termo geral a sobre (k mais p) vezes (k mais q). Você informa o índice superior n, o inferior opcional start, o coeficiente opcional a do numerador e os deslocamentos inteiros p e q. O motor devolve a fração exata reduzida, uma soma decimal estável, a identidade de frações parciais, a fórmula telescópica fechada e as listas curtas de denominadores residuais positivos e negativos não cancelados. Casos clássicos como um sobre k vezes k mais um saem de imediato quando p é zero e q é um.
Frações parciais e por que a série se telescopa
Parta de um termo racional próprio na variável discreta k cujo denominador é o produto de dois fatores lineares distintos. A álgebra fornece a identidade elementar: a dividido por (k mais p) vezes (k mais q) é igual a a sobre (q menos p) vezes a diferença de um sobre (k mais p) e um sobre (k mais q).
Quando você escreve essa diferença para cada k de start até n e soma, cada fração unitária interior aparece uma vez com sinal de mais e outra com sinal de menos um número fixo de passos depois. Essas contribuições interiores se cancelam, restando apenas um bloco curto de residuais positivos perto do índice inferior e um bloco curto de residuais negativos logo além do índice superior. O comprimento de cada bloco é o gap absoluto entre q e p.
Multiplicar a combinação restante pela escala constante a sobre (q menos p) produz a soma finita exata sem nunca somar n termos de ponto flutuante separadamente. Esse é o método telescópico que os livros ilustram para um sobre k vezes k mais um, e o mesmo cancelamento vale para um sobre k vezes k mais dois, um sobre (k mais um) vezes (k mais três) e qualquer outro par de deslocamentos inteiros distintos.
Esta calculadora codifica esse cancelamento com aritmética racional exata BigInt, de modo que a fração que você vê está reduzida pelo máximo divisor comum, não é um arredondamento. Quando um polo ficaria dentro do intervalo de soma porque algum k anula k mais p ou k mais q, a requisição é rejeitada em vez de devolver um total infinito ou indefinido.
Onde um somador de séries por frações parciais se paga
Instrutores e plataformas de tutoria usam uma calculadora de soma de séries por frações parciais para que aprendizes verifiquem formas fechadas com p, q e n arbitrários sem lapsos algébricos na contabilidade telescópica. Geradores de prova e corretores automáticos de LMS precisam de um oráculo determinístico que devolva a fração reduzida e rejeite intervalos singulares em vez de emitir NaN em silêncio. Validação falha não consome saldo.
Mantenha as requisições pequenas, fixe a fração e a soma arredondada nos testes e você obtém totais reproduzíveis para lição de casa, plugins de LMS e workers na borda sem montar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Checagens de lição de casa e sala
Verifique formas fechadas de Σ a/((k+p)(k+q)) depois que os alunos decompõem o termo à mão e cancelam peças telescópicas.
Cadernos e núcleos discretos
Obtenha somas finitas exatas de núcleos racionais de dois fatores em scripts de funções geradoras ou cálculo discreto sem um CAS.
Perguntas frequentes
Como somar uma série com frações parciais?
Envie o índice superior n (obrigatório) e, se quiser, a, p, q e start.
Por que p e q precisam ser diferentes?
Quando p é igual a q o denominador é um fator linear repetido e a identidade elementar de diferença em dois termos de frações parciais não se aplica. Escolha deslocamentos distintos.
O que acontece se um fator se anula para algum k no intervalo?
Um fator nulo torna o termo geral indefinido, portanto nenhuma soma finita é devolvida.
Quanto dá a soma de 1/(k(k+1)) de 1 a 10?
Exatamente 10/11, cerca de 0,909090909090909. Cada termo se separa em 1/k menos 1/(k+1), as partes intermediárias se cancelam e sobra apenas 1 menos 1/11.
O resultado sai como fração exata ou como decimal?
Das duas formas. O total é calculado com frações exatas reduzidas à forma mais simples, então você vê a fração, o decimal e as partes que sobram depois do cancelamento.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/series-sum-by-partial-fractions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.series_sum_by_partial_fractions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A mesma lógica pura de parse alimenta a ferramenta gratuita do navegador e a API, para que checagens de lição de casa e automação nunca discordem.
Contrato de entrada, padrões e campos de resposta
O start opcional vale um por padrão e não deve ultrapassar n. O coeficiente opcional a vale um por padrão e pode ser qualquer número finito. Os inteiros opcionais p e q valem zero e um por padrão, de modo que a série clássica um sobre k vezes k mais um funciona só com n. Os dois deslocamentos devem diferir, e a diferença absoluta não pode exceder quinhentos para que o produto exato dos residuais continue prático. Envie por POST um corpo JSON com o índice superior obrigatório n, inteiro de um a um milhão. Os aliases incluem coefficient para a, from para start e to para n. Em caso de sucesso, o payload ecoa a, p, q, start e n; informa sum como decimal estável; fraction como string reduzida, por exemplo dez sobre onze; numerator e denominator dessa forma reduzida; term como string de exibição do somando geral; partial_fractions como a identidade de diferença escalada; formula como a combinação fechada expandida de frações unitárias; method com o valor partial_fractions_telescoping; telescoping_gap igual a q menos p; positive_remainders e negative_remainders como os denominadores inteiros que sobrevivem ao cancelamento; e max_n com o teto suportado. Falta de n, não inteiros onde se exigem inteiros, p igual a q, polos no intervalo ou n abaixo de start falham com invalid_input e não são cobrados.
Onde um somador de séries por frações parciais se paga
Cadernos de engenharia que expandem funções geradoras ou núcleos de Green discretos muitas vezes precisam de somas parciais exatas de núcleos racionais da forma a sobre (k mais p) vezes (k mais q) antes de tomar limites quando n cresce; chamar um endpoint de parse minúsculo evita puxar um sistema de álgebra computacional completo para uma soma telescópica de dois fatores. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Casos de integração
Correção automática em LMS e provas
Pontue itens telescópicos por frações parciais com fração reduzida determinística e rejeite polos ou p=q como invalid_input.
Perguntas técnicas
Quais padrões valem se eu enviar só n?
a vale 1, p vale 0, q vale 1 e start vale 1, de modo que você obtém Σ_{k=1}^{n} 1/(k(k+1)) = n/(n+1).
Quanto custa a calculadora de soma de séries por frações parciais?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.