Somma dei primi n cubi
I primi 10 cubi sommano 3025, il quadrato del numero triangolare 55. Inserisca qualsiasi intero n fino a 13776 e ottenga il totale esatto, il numero triangolare da cui deriva e la formula da affiancare alla sua risposta. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 10
- Sum
- 3025
- Triangolare
- 55
- Identità
- 1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
- Max n
- 13.776
La somma dei primi n cubi perfetti è una classica identità in forma chiusa della matematica discreta e del precalcolo: uno al cubo più due al cubo più tre al cubo e così via fino a n al cubo è uguale al quadrato del numero triangolare n volte n più uno diviso due. Gli studenti la incontrano studiando le dimostrazioni per induzione, le somme di serie e il legame tra cubi e numeri triangolari. Ingegneri e script di dati necessitano dello stesso valore senza scorrere un n grande quando serve solo il totale. Questo calcolatore della somma dei primi n cubi accetta un intero n non negativo, valuta l’identità con aritmetica intera esatta e restituisce la somma, il numero triangolare intermedio e una breve stringa di formula che Lei può mostrare accanto alla risposta.
L’identità in forma chiusa e perché è esatta
Il teorema di Nicomaco afferma che la somma dei primi n cubi positivi è uguale al quadrato dell’n-esimo numero triangolare. In simboli, uno al cubo più due al cubo più tre al cubo fino a n al cubo coincide con la quantità n volte n più uno, divisa per due e poi elevata al quadrato. Il numero triangolare T_n vale n(n+1)/2 perché è il numero di punti di un triangolo con n righe, o il numero di coppie formate accoppiando il primo con l’ultimo tra n più uno interi consecutivi.
Elevare T_n al quadrato produce la somma dei cubi senza enumerare ciascun cubo. Per n uguale a uno l’identità è banale: uno al cubo è uno e T_1 al quadrato è pure uno. Per n uguale a due si ottiene uno più otto uguale nove, e T_2 è tre, quindi tre al quadrato è nove.
Per n uguale a dieci il triangolare è cinquantacinque e la somma dei cubi è tremilaventicinque. La dimostrazione per induzione matematica è standard: il caso base n uguale a zero o uno regge, e il passo induttivo usa l’identità algebrica per cui T_n al quadrato più il cubo successivo n più uno al cubo uguaglia T_{n+1} al quadrato. Poiché ogni passo è aritmetica intera esatta, non c’è errore di arrotondamento finché n resta nell’intervallo degli interi sicuri.
Questo calcolatore quindi non approssima mai la somma accumulando cubi in virgola mobile; moltiplica e divide una sola volta con intermedi interi grandi e restituisce un numero che coincide con il calcolo a mano e con le tabelle dei manuali per ogni n supportato.
Casi d'uso
Compiti e controlli di induzione
Lasci che gli studenti inseriscano n e verifichino che 1³+…+n³ uguaglia (n(n+1)/2)² rispetto ai passi della dimostrazione per induzione.
Correzione automatica LMS ed esami
Valuti gli item di somma di cubi con un oracolo deterministico che rifiuta n negativo e non si discosta mai dalla forma chiusa.
Domande frequenti
Quale formula usa il calcolatore della somma dei primi n cubi?
Usa il teorema di Nicomaco: 1³+2³+…+n³ = (n(n+1)/2)², il quadrato dell’n-esimo numero triangolare, valutato con aritmetica intera esatta.
Cosa succede se n è negativo?
La somma dei primi n cubi è definita per un conteggio non negativo; n negativo non viene addebitato.
Quanto fa la somma dei primi 10 cubi?
Fa 3025. Il decimo numero triangolare è 55, la somma dei numeri da 1 a 10, e 55 al quadrato dà 3025, lo stesso totale che si ottiene sommando ogni cubo da 1 fino a 1000.
Che cosa dice il teorema di Nicomaco?
Che la somma dei primi n cubi è uguale al quadrato dell’n-esimo numero triangolare, n(n+1)/2. Con n pari a 2, 1 più 8 fa 9, e il triangolare 3 al quadrato fa anch’esso 9.
Esiste un valore massimo di n?
Sì, n può arrivare fino a 13776. Questo limite mantiene il quadrato del numero triangolare nell’intervallo in cui gli interi sono conservati senza perdite, quindi ogni totale è esatto e non arrotondato.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 10
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.sum_of_cubes_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Il percorso browser e quello API condividono un unico modulo puro, così i controlli sui compiti e le pipeline di produzione non divergono mai su casi limite come n uguale a zero o il tetto dell’intervallo sicuro.
Contratto di ingresso, campi di risposta e validazione
La validazione fallita non consuma il saldo prepagato. Invii un corpo JSON con un solo campo obbligatorio n: un intero non negativo da zero a tredicimilasettecentosettantasei. Gli alias count e k sono accettati così gli script che già nominano l’indice superiore in altro modo non devono rinominarlo. I valori possono arrivare come numeri JSON o come stringhe di cifre decimali; zeri iniziali su stringhe a più cifre, notazione scientifica, frazioni, Infinity e NaN sono rifiutati con invalid_input. n negativo è rifiutato perché l’espressione primi n cubi è definita per un conteggio non negativo; n uguale a zero restituisce somma zero per la convenzione di somma vuota. Il tetto superiore è scelto affinché il triangolare elevato al quadrato resti nel range di interi sicuri di JavaScript, mantenendo risultati esatti quando serializzati come numeri JSON. In caso di successo la risposta ripete n, restituisce sum come totale dei primi n cubi, triangular come T_n uguale a n(n+1)/2, formula come la stringa (n(n+1)/2)^2, identity come una riformulazione leggibile del teorema di Nicomaco, e max_n così i client possono documentare l’intervallo supportato senza codificare una costante magica. Abbini questo endpoint al Suo ciclo solo quando serve l’elenco parziale di ciascun cubo; quando serve solo il totale, la forma chiusa è più rapida e priva di errore di accumulo.
Aula, automazione e usi SEO
I corsi di algebra e matematica discreta usano un calcolatore della somma dei primi n cubi affinché gli apprendisti verifichino i compiti di induzione e gli esercizi sulle serie senza errori aritmetici su n grandi. I generatori di esami e i plugin LMS necessitano di un oracolo deterministico che restituisca sempre la stessa somma per lo stesso n e che fallisca in modo chiaro su input negativo invece di inventare una somma vuota con segno. Poiché l’implementazione è parse di livello A puro, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Casi di integrazione
Script e test di regressione sulle serie
Confronti un ciclo sui cubi con la somma in forma chiusa in CI affinché il codice di aggregazione cubica resti allineato all’identità di Nicomaco.
Domande tecniche
Quali valori di n sono ammessi?
Interi non negativi da 0 a 13776 inclusi. n=0 restituisce somma 0. I valori oltre il massimo supererebbero l’intervallo di interi JSON sicuri e sono rifiutati.
L’API scorre ogni cubo in un ciclo?
No. Valuta la forma chiusa (n(n+1)/2)² in tempo costante con intermedi BigInt, così i risultati restano esatti senza accumulare errore in virgola mobile.
Quanto costa il calcolatore della somma di cubi?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo KIT prepagato a $0.002 per chiamata riuscita; l’input non valido non viene addebitato.