ForHosting KIT · الرياضيات

مجموع أول n مكعبات

مجموع أول 10 مكعبات هو 3025، وهو مربع العدد المثلثي 55. أدخلوا أي عدد صحيح n حتى 13776 لتحصلوا على المجموع الدقيق والعدد المثلثي الذي ينتج عنه والصيغة التي ترافق إجابتكم. مجانًا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

N: 10

تحصل على

Sum: 3,025
عدد مثلثي: 55
المتطابقة: 1^3+2^3+...+n^3 = (n(n+1)/2)^2
Max n: 13,776

مجموع أول n مكعبات كاملة هو هوية كلاسيكية بصيغة مغلقة في الرياضيات المتقطعة وما قبل التفاضل: واحد مكعب زائد اثنين مكعب زائد ثلاثة مكعب وهكذا حتى n مكعب يساوي مربع العدد المثلثي n مضروبًا في n زائد واحد على اثنين. يلتقي الطلبة بهذه الصيغة عند تعلم براهين الاستقراء وجمع المتسلسلات والعلاقة بين المكعبات والأعداد المثلثية. يحتاج المهندسون وسكربتات البيانات إلى القيمة نفسها دون المرور على n كبير عندما يكون المطلوب المجموع فقط. تقبل حاسبة مجموع أول n مكعبات هذه عددًا صحيحًا غير سالب n، وتقيّم الهوية بحساب صحيح دقيق، وتعيد المجموع والعدد المثلثي الوسيط وسلسلة صيغة قصيرة يمكنكم عرضها بجانب الإجابة.

الهوية ذات الصيغة المغلقة ولماذا هي دقيقة

تنص مبرهنة نيقوماخوس على أن مجموع أول n مكعبات موجبة يساوي مربع العدد المثلثي ذي الرتبة n. رمزيًا، واحد مكعب زائد اثنين مكعب زائد ثلاثة مكعب حتى n مكعب يطابق المقدار n مضروبًا في n زائد واحد، مقسومًا على اثنين ثم مربّعًا. العدد المثلثي T_n يساوي n(n+1)/2 لأنه عدد النقاط في مثلث من n صفوف، أو عدد الأزواج المتكونة بمزاوجة الأول مع الأخير بين n زائد واحد أعداد صحيحة متتالية.

تربيع T_n يعطي مجموع المكعبات دون تعداد كل مكعب. عندما يكون n واحدًا تكون الهوية تافهة: واحد مكعب يساوي واحدًا ومربع T_1 واحد أيضًا. عندما يكون n اثنين تحصلون على واحد زائد ثمانية يساوي تسعة، وT_2 ثلاثة فمربع الثلاثة تسعة.

عندما يكون n عشرة يكون المثلثي خمسة وخمسين ومجموع المكعبات ثلاثة آلاف وخمسة وعشرين. البرهان بالاستقراء الرياضي قياسي: الحالة الأساس n يساوي صفرًا أو واحدًا تثبت، وخطوة الاستقراء تستخدم الهوية الجبرية أن مربع T_n زائد المكعب التالي n زائد واحد مكعب يساوي مربع T_{n+1}. لأن كل خطوة حساب صحيح دقيق، لا يوجد خطأ تقريب ما دام n داخل نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة.

لذلك لا تقارب هذه الحاسبة المجموع بتجميع مكعبات متتالية بنقطة عائمة؛ بل تضرب وتقسم مرة واحدة بوسائط أعداد صحيحة كبيرة وتعيد رقمًا يطابق الحساب اليدوي وجداول الكتب لكل n مدعوم.

الفصل والأتمتة واستخدامات الظهور في البحث

تستخدم مقررات الجبر والرياضيات المتقطعة حاسبة مجموع أول n مكعبات ليتحقق المتعلمون من واجبات الاستقراء وتمارين المتسلسلات دون أخطاء حسابية عند n كبير. تحتاج مولّدات الامتحانات وإضافات LMS إلى وحي حتمي يعيد المجموع نفسه لـ n نفسه دائمًا ويفشل بوضوح عند الإدخال السالب بدل اختراع مجموع فارغ موقّع. تحتاج دفاتر البيانات والعاملون عند الحافة غالبًا إلى الصيغة المغلقة عند تجميع نماذج نمو تكعيبي أو عند التحقق من أن حلقة القوة الغاشمة تطابق هوية الكتاب في اختبارات الانحدار.

أبقوا n ضمن النطاق الموثّق، وثبّتوا الأمثلة الذهبية في التكامل المستمر، فتحصلون على مجاميع مكعبات قابلة للتكرار لأدوات الواجبات وعروض المتسلسلات وسكربتات الإنتاج دون إقامة نظام جبر حاسوبي لهوية من سطر واحد.

حالات الاستخدام

الواجبات وفحوص الاستقراء

دعوا الطلبة يدخلون n ويتحققون من أن 1³+…+n³ يساوي (n(n+1)/2)² أمام خطوات برهان الاستقراء.

التصحيح الآلي في LMS والامتحانات

قيّموا بنود مجموع المكعبات بوحي حتمي يرفض n السالب ولا يحيد أبدًا عن الصيغة المغلقة.

السكربتات واختبارات انحدار المتسلسلات

قارنوا حلقة على المكعبات بالمجموع ذي الصيغة المغلقة في CI ليبقى كود التجميع التكعيبي متوافقًا مع هوية نيقوماخوس.

الأسئلة الشائعة

ما الصيغة التي تستخدمها حاسبة مجموع أول n مكعبات؟

تستخدم مبرهنة نيقوماخوس: 1³+2³+…+n³ = (n(n+1)/2)²، أي مربع العدد المثلثي ذي الرتبة n، مقيَّمة بحساب صحيح دقيق.

ماذا يحدث إذا كان n سالبًا؟

مجموع أول n مكعبات معرّف لعدد غير سالب؛ n السالب لا يُحاسب.

كم يساوي مجموع أول 10 مكعبات؟

يساوي 3025. العدد المثلثي العاشر هو 55، أي مجموع الأعداد من 1 إلى 10، ومربعه 3025، وهو المجموع نفسه الذي نحصل عليه بجمع كل المكعبات من 1 إلى 1000.

ماذا تقول مبرهنة نيقوماخوس؟

تقول إن مجموع أول n من المكعبات يساوي مربع العدد المثلثي النوني n(n+1)/2. فعندما يكون n مساويًا 2 يكون 1 زائد 8 هو 9، ومربع العدد المثلثي 3 هو 9 أيضًا.

هل توجد قيمة قصوى للعدد n؟

نعم، يمكن أن يصل n إلى 13776. يُبقي هذا الحد مربع العدد المثلثي ضمن النطاق الذي تُحفظ فيه الأعداد الصحيحة بلا فقد، فيكون كل مجموع دقيقًا لا مقرّبًا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/sum-of-cubes-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 10
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.sum_of_cubes_formula",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشترك مسار المتصفح ومسار API في وحدة نقية واحدة، فلا تختلف فحوصات الواجبات وخطوط الإنتاج على الحالات الحدية مثل n يساوي صفرًا أو الحد الأعلى للنطاق الآمن.

عقد الإدخال وحقول الاستجابة والتحقق

يُرفض n السالب لأن عبارة أول n مكعبات تُعرَّف لعدد غير سالب؛ n يساوي صفرًا يعيد مجموعًا صفرًا وفق اصطلاح المجموع الفارغ. فشل التحقق لا يستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا. اقرنوا هذه النقطة النهائية بحلقة خاصة فقط عندما تحتاجون القائمة الجزئية لكل مكعب؛ وعندما تحتاجون المجموع فقط فالصيغة المغلقة أسرع وخالية من خطأ التراكم. أرسلوا جسم JSON بحقل مطلوب واحد n: عدد صحيح غير سالب من صفر إلى ثلاثة عشر ألفًا وسبعمائة وستة وسبعين. تُقبل الأسماء البديلة count وk حتى لا تحتاج السكربتات التي تسمي الفهرس الأعلى بأسماء أخرى إلى إعادة تسمية. قد تصل القيم كأعداد JSON أو سلاسل أرقام عشرية؛ تُرفض الأصفار البادئة في السلاسل متعددة الأرقام والترميز العلمي والكسور وInfinity وNaN برمز invalid_input. اختير الحد الأعلى بحيث يبقى المثلثي المربّع داخل نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة في JavaScript، فيبقى الناتج دقيقًا عند تسلسله كأعداد JSON. عند النجاح تعيد الاستجابة n، وsum كمجموع أول n مكعبات، وtriangular كـ T_n يساوي n(n+1)/2، وformula كالسلسلة (n(n+1)/2)^2، وidentity كإعادة صياغة مقروءة لمبرهنة نيقوماخوس، وmax_n ليوثّق العملاء النطاق المدعوم دون ثابت سحري.

الفصل والأتمتة واستخدامات الظهور في البحث

تستفيد مواقع المحتوى التي تستهدف استعلامات مثل حاسبة مجموع أول n مكعبات من أداة مجانية حية يطابق مسار متصفحها مسار API المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها. ولأن التنفيذ parse من المستوى A نقي، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 دون رموز نموذج ودون شبكة صادرة.

أسئلة تقنية

ما قيم n المسموح بها؟

أعداد صحيحة غير سالبة من 0 إلى 13776 شاملة. n=0 يعيد المجموع 0. القيم فوق الحد تتجاوز نطاق أعداد JSON الصحيحة الآمنة وتُرفض.

هل يمرّ API على كل مكعب في حلقة؟

لا. يقيّم الصيغة المغلقة (n(n+1)/2)² في زمن ثابت بوسائط BigInt، فتبقى النتائج دقيقة دون تراكم خطأ عائم.

كم تكلفة حاسبة مجموع المكعبات؟

أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

الهوية ذات الصيغة المغلقة ولماذا هي دقيقة

الفصل والأتمتة واستخدامات الظهور في البحث

حالات الاستخدام

الواجبات وفحوص الاستقراء

التصحيح الآلي في LMS والامتحانات

السكربتات واختبارات انحدار المتسلسلات

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

عقد الإدخال وحقول الاستجابة والتحقق

الفصل والأتمتة واستخدامات الظهور في البحث

أسئلة تقنية

شكرًا