حاسبة مجموع أول n فردية
1 + 3 + 5 + 7 + 9 يساوي 25: مجموع أول n أعداد فردية يساوي دائما n تربيع تماما. أدخلوا n واحصلوا على المجموع مع آخر عدد فردي في القائمة، وهو هنا 9. مجانا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 5
- Sum
- 25
- آخر عدد فردي
- 9
- المتطابقة
- 1+3+...+(2n-1)=n^2
تشكّل متتالية أول n أعداد فردية موجبة أحد أوضح الجسور بين العدّ والمربعات الكاملة في الجبر الابتدائي. أضف واحدًا ثم ثلاثة ثم خمسة، وواصل حتى الفردي النوني، فيظل المجموع الجاري مساويًا تمامًا لـ n تربيع—لا تقريبًا ولا بعد التقريب، بل بصورة متطابقة لكل عدد صحيح موجب n. تقبل هذه الحاسبة عددًا صحيحًا موجبًا من الحدود، وترفض الصفر والقيم السالبة برسالة تحقق واضحة، وتعيد المجموع بصيغة مغلقة مع آخر حد فردي وسلسلة هوية قصيرة يمكن عرضها بجانب الإجابة. يستخدمها الطلاب لمراجعة الواجبات قبل الحصة، ويدمجها المعلمون في المصححات الآلية، ويعتمد المطورون الدالة النقية ذاتها كمرجع حتمي في اختبارات الوحدة.
لماذا يساوي مجموع أول n فرديات n تربيع
اكتب أول n أعداد فردية موجبة على أنها واحد وثلاثة وخمسة وهكذا حتى اثنين n ناقص واحد. يوجد تمامًا n حدود، والحد رقم k (بدءًا من k يساوي واحدًا) هو اثنان k ناقص واحد. جمع الحالات الصغيرة يدويًا يكشف النمط: عندما يكون n واحدًا يكون المجموع واحدًا وهو واحد تربيع؛ وعندما يكون n اثنين يكون المجموع أربعة وهو اثنان تربيع؛ وعندما يكون n ثلاثة يكون المجموع تسعة؛ وعندما يكون n أربعة يكون المجموع ستة عشر؛ وعندما يكون n خمسة يكون المجموع خمسة وعشرين.
يحوّل الاستقراء الرياضي النمط إلى مبرهنة: افترض أن مجموع أول k فرديات يساوي k تربيع؛ الفردي التالي هو اثنان k زائد واحد؛ وبإضافته تحصل على k تربيع زائد اثنين k زائد واحد، وهو يُحلل إلى تربيع (k زائد واحد). تتوافق قصة هندسية مع الجبر: يمكن بناء مربع n في n من خلايا الوحدة بتداخل حواف على شكل L أطوالها المتتالية هي الفرديات المتتالية، فتكون المساحة بعد n حواف هي n تربيع. لا يعيد هذا الطرف إثبات المبرهنة في كل استدعاء.
بعد التحقق من أن n عدد صحيح لا يقل عن واحد وضمن الحد الأعلى المدعوم، يضرب n في n، وهو دقيق لكل عدد صحيح في النطاق وخالٍ من انحراف الفاصلة العائمة. تشمل فحوصات الصف n يساوي عشرة فالمجموع مئة، وn يساوي عشرين فالمجموع أربعمئة، وn يساوي مئة فالمجموع عشرة آلاف. تنتج حلقة حذرة تراكم اثنين i زائد واحد من صفر حتى n ناقص واحد نفس المجموع، لذا تُعد الصيغة المغلقة مرجعًا موثوقًا للمصححات الآلية وتمارين البرمجة التي تطلب من الطلاب إعادة اكتشاف الهوية بالحلقات أو الاستقراء.
أين تثبت هذه الهوية فائدتها عمليًا
تطلب وحدات الجبر في المرحلة المتوسطة والثانوية باستمرار جمع أول n فرديات أو شرح لماذا يكون ذلك المجموع مربعًا كاملًا. تسرّع حاسبة موثوقة بفحص صارم لكون n أكبر من أو يساوي واحدًا تصحيح الواجبات وتزيل أخطاء الجداول حيث يضرب أحدهم الصيغة المغلقة الخاطئة أو يخطئ بواحد في الحد الأخير. تحتاج فرق البيانات والتحليل أحيانًا إلى تجهيزات حتمية للتوثيق أو المقاييس التركيبية؛ وإرجاع n وsum وidentity يجعل تلك التجهيزات ذات وصف ذاتي في السجلات.
إذا احتجت لاحقًا مجموع أول n زوجيات أو سلسلة حسابية اعتباطية أو فرديات تبدأ بإزاحة غير الواحد، فاعاملها كنوايا بحث وأدوات منفصلة بدل إثقال صفحة الهبوط هذه بمعاملات إضافية تُضعف وعد تحسين محركات البحث لحاسبة أول n فرديات.
حالات الاستخدام
مراجعة الواجبات والاختبارات
تحقق من أن 1+3+…+(2n−1) يساوي n² في مسائل الصف، وارفض n الأقل من 1 بخطأ واضح بدل مجموع خاطئ.
تعليم الاستقراء بأرقام حية
أظهر كيف ينقل كل حد فردي جديد المجموع الجاري إلى المربع الكامل التالي، باستخدام الدالة ذاتها في عروض المتصفح وسكربتات التصحيح.
الأسئلة الشائعة
ما الصيغة التي تستخدمها هذه الحاسبة؟
مجموع أول n أعداد فردية موجبة هو n²: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² لكل عدد صحيح n ≥ 1.
ماذا يحدث إذا كان n يساوي 0 أو سالبًا؟
أول n فرديات موجبة معرّفة فقط عندما يكون n على الأقل 1.
هل تجمع الزوجيات أو مدى فردي اعتباطي؟
لا. يجمع هذا الطرف فقط أول n فرديات موجبة بدءًا من 1. السلاسل الأخرى أدوات منفصلة.
لماذا يساوي مجموع أول n أعداد فردية n تربيع؟
تخيلوا مربعا من n في n خانة مبنيا من حواف متداخلة على شكل L، أطوالها 1 و3 و5 وهكذا. بعد n حافة تصبح المساحة n تربيع، ويثبت الاستقراء ذلك جبريا.
ما آخر عدد فردي يُجمع؟
هو 2n − 1. فعندما تكون n تساوي 5 يكون آخر عدد فردي 9، وتكون القائمة 1 و3 و5 و7 و9 ومجموعها 25.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-of-odd-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-of-odd-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-of-odd-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-of-odd-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-of-odd-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.sum_of_odd_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
وبما أن مسار المتصفح المجاني وواجهة API المدفوعة يشتركان في وحدة واحدة، فإن عروض الصف وخطوط الإنتاج لا تختلف بصمت على نفس n.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وأخطاء التحقق
يجب أن تكون القيمة عددًا صحيحًا بين واحد وعشرة ملايين شمولًا. استخدم الأداة المجانية في المتصفح للفحوص السريعة، ثم استدعِ العقد ذاته من السكربتات عندما تحتاج تقييم مجاميع الفرديات بالجملة دون إعادة تنفيذ بوابة التحقق في كل لغة. ثبّت الـ goldens المتوقعة على الصيغة المغلقة حتى لا تغيّر إعادة هيكلة التنفيذ الأرقام العامة. أرسل حقلًا صحيحًا إلزاميًا باسم n، مع الأسماء البديلة الاختيارية count وterms وhow_many للنماذج الأسهل استخدامًا. تفشل الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والكسور والنص غير الرقمي والصفر والأعداد السالبة بـ invalid_input ولا تُحتسب. عند النجاح يعيد جسم JSON القيمة n المُطبَّعة، وsum بوصفها n تربيع، وlast_odd بوصفها اثنين n ناقص واحد حتى تضع العملاء تسمية على الحد الأخير دون إعادة حساب، وformula كسلسلة مختصرة n caret two، وidentity كسلسلة مقروءة تصف واحدًا زائد ثلاثة زائد نقاطًا زائد قوسًا مفتوحًا اثنين n ناقص واحد قوسًا مغلقًا يساوي n تربيع. أمثلة محلولة: n يساوي خمسة يعطي sum خمسة وعشرين وlast_odd تسعة؛ n يساوي واحدًا يعطي sum واحدًا وlast_odd واحدًا؛ n يساوي سبعة يعطي sum تسعة وأربعين وlast_odd ثلاثة عشر؛ n يساوي اثني عشر يعطي sum مئة وأربعة وأربعين وlast_odd ثلاثة وعشرين. الطلبات ذات n يساوي صفرًا أو n يساوي سالب ثلاثة تفشل بـ invalid_input مع رسالة أن n يجب ألا يقل عن واحد. العقد JSON مستقر يناسب اختبارات الوحدة وإضافات LMS وخطوط الدفعات.
أين تثبت هذه الهوية فائدتها عمليًا
تستخدم إحماءات مسابقات البرمجة والمقابلات التقنية الهوية ذاتها كتمرين أول عن الحلقات أو الاستقراء أو التفكير بالصيغة المغلقة، فيتيح مرجع API يعيد sum وlast_odd وسلسلة formula للمصححات الآلية مقارنة مخرجات الطالب دون تسامح عددي هش. يمكن لعروض التصور والتعليم التي تنمّي شبكة n في n بحافة فردية على شكل L في كل خطوة أن تسحب last_odd وsum في كل خطوة لمواءمة السرد والأرقام. وبما أن هذه القدرة محرك parse خالص، فإن تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
حالات التكامل
تمارين البرمجة والمصححات الآلية
قارن تطبيقات الحلقات لدى الطلاب مع المجموع بالصيغة المغلقة وlast_odd دون إعادة اشتقاق الهوية في كل حزمة اختبار.
أسئلة تقنية
ما last_odd في الاستجابة؟
هو العدد الفردي الموجب النوني، ويساوي 2n − 1، حتى تعرض الحد الأخير دون إعادة حسابه.
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحتسب.