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負のペル方程式の可解性判定と最小解

Q: solvable が偽なら探索を途中で止めたという意味ですか？

いいえ。 連分数の周期が偶数長で閉じたことを表し、整数解が存在しないことの証明になります。

x² − Dy² = −1に整数解があるかを調べ、最小の解を求めます。Dが13なら答えはx 18、y 5で、周期5という奇数の連分数から見つかります。とても大きな解も正確に表示します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

D: 13

結果

D: 13
周期の長さ: 5
X: 18
Y: 5

負のペル方程式ソルバーは、正の非平方整数 D に対して、x の2乗から D と y の2乗の積を引いた値がマイナス1になる整数解が存在するかを判定します。可解な場合は、浮動小数点の丸めを使わず、最小の正の x と y を厳密に返します。可解性を決める連分数の周期長も示します。

負のペル方程式で求めるもの

方程式 x² − Dy² = −1 は通常のペル方程式を少し変えただけに見えますが、符号が変わることで解の存在が条件付きになります。D は完全平方数ではない正の整数でなければならず、x と y は正の整数から探します。すぐに成立する値もあります。

一方、非平方数であっても解がまったく存在しない値があります。本ソルバーはこの2つを区別し、解がある場合は正の x が最小となる最小解を特定します。ペル方程式の解は JavaScript や多くのデータベースが安全に扱える数値範囲を大幅に超えることがあるため、x、y、D は10進文字列として返します。

これは近似値ではなく厳密な整数です。D が完全平方数なら、本ツールの対象外として入力エラーになります。

連分数による可解性の判定方法

計算には D の平方根の周期単純連分数を使用します。正の非平方整数では、この展開に有限の反復ブロックがあります。古典的な定理により、負のペル方程式が可解であることと、その周期長が奇数であることは同値です。

本ソルバーは整数の漸化式だけで展開を生成し、浮動小数点演算で平方根を近似しません。各近似分数では、分子と分母を任意精度整数として保持し、元の方程式を直接検算します。ある近似分数で −1 が得られれば、その分子と分母が最小の正の x と y です。

そのような近似分数がないまま周期が閉じれば周期長は偶数であり、整数解が存在しないと結論できます。この方法では、判定の検証可能な根拠と要求された解を一度に得られます。処理は決定的であり、同じ入力は常に同じ漸化式をたどって同じ出力になります。

ネットワーク、乱数、時刻、地域別の数値表記には依存しません。

結果を安全に読み取り利用する方法

お使いの言語の安全な整数範囲を超える可能性がある場合は、符号なしの正確な10進文字列で送信してください。計算コアは桁を失わずに受け取ります。多倍長整数ライブラリで文字列を読み取り、x*x − D*y*y = −1 を確認すれば独立に検算できます。

解がない場合も D と周期長は含まれますが、条件を満たす値がないため x と y は省略されます。分数、負の整数、入力不足、完全平方数には、数学的な回答ではなく型付き入力エラーを返します。

活用例

数論の予想を検証する

選択した非平方数 D を調べ、厳密な最小解を記録して、その後の数式処理に利用できます。

解説付き例題を準備する

二次無理数と連分数の授業向けに、可解例と非可解例を再現可能な形で生成できます。

別の実装を検証する

独自のペル方程式ソルバーを、周期長や非常に大きな10進解を含む決定的な厳密結果と比較できます。

よくある質問

負のペル方程式はいつ解けますか？

D の平方根の周期連分数について、その周期長が奇数である場合に限り解けます。

最小解とは何ですか？

正の整数解のうち x が最小のものです。それに対応する正の y も同時に決まります。

solvable が偽なら探索を途中で止めたという意味ですか？

いいえ。連分数の周期が偶数長で閉じたことを表し、整数解が存在しないことの証明になります。

Dが13のときの最小解は何ですか？

x 18、y 5です。13の平方根の連分数は周期5で繰り返し、長さが奇数なので解が存在します。18と5が正の解のうち最小の組です。

通常のペル方程式とどう違いますか？

右辺の符号が+1から−1に変わるだけですが、そのため解があるとは限らなくなります。平方数でないDでも解があるものとないものがあるので、まずどちらの場合かを示します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"d":13}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "d": 13
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "d": 13
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"d":13}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"d":13}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "d": 13
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.negative_pell",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

大きな解は10進文字列で出力されるため、JSON、ブラウザー、端末、アプリケーションを経由してもすべての桁が保たれます。

負のペル方程式で求めるもの

D = 2 では、x = 1、y = 1 の組が方程式を満たします。solvable で判定を直接確認でき、偽の場合は誤解を招く null や架空の値を置かず、解のフィールド自体を省略します。

結果を安全に読み取り利用する方法

D は d フィールドに整数として指定してください。成功結果には、真の solvable、連分数周期を表す period_length、正確な10進文字列 x と y が含まれます。研究用スクリプト、授業での実演、数論処理では、解フィールドを読む前に solvable で分岐してください。ブラウザーと API は同じ純粋なソルバーを共有するため、検証、漸化式、最小性、厳密な出力の規則も同一です。API の利用料金は1回 $0.002 です。

技術的な質問

x と y が文字列で返されるのはなぜですか？

ペル方程式の解は JSON や JavaScript の通常の整数精度を超える場合があります。10進文字列なら全桁を厳密に保持できます。

D が完全平方数の場合はどうなりますか？

本機能は非平方数 D のみを対象とするため、invalid_input エラーで要求が失敗します。

API の利用料金はいくらですか？

API は1回 $0.002 です。同じ決定的ソルバーをブラウザーでは無料で実行できます。

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負のペル方程式の可解性判定と最小解

無料で実行

計算例

負のペル方程式で求めるもの

連分数による可解性の判定方法

結果を安全に読み取り利用する方法

活用例

数論の予想を検証する

解説付き例題を準備する

別の実装を検証する

よくある質問

関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

負のペル方程式で求めるもの

結果を安全に読み取り利用する方法

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