Ecuación de Pell negativa: solvencia y solución mínima
Averigüe si x² − Dy² = −1 tiene soluciones enteras y obtenga la menor: cuando D vale 13, la respuesta es x 18 e y 5, hallada con una fracción continua de periodo impar 5. Incluso las soluciones muy grandes salen exactas. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- D
- 13
- D
- 13
- Longitud del período
- 5
- X
- 18
- Y
- 5
El solucionador de la ecuación de Pell negativa determina si x al cuadrado menos D por y al cuadrado igual a menos uno tiene solución entera para un entero positivo no cuadrado D. Si la ecuación es resoluble, devuelve exactamente los menores x e y positivos, sin redondeo de coma flotante. También indica la longitud del período de la fracción continua que decide la resolubilidad.
Qué plantea la ecuación de Pell negativa
La ecuación x² − Dy² = −1 parece una pequeña variante de la ecuación de Pell ordinaria, pero el cambio de signo condiciona la existencia de soluciones. D debe ser un entero positivo que no sea un cuadrado perfecto, mientras que x e y se buscan entre los enteros positivos. Otros valores no cuadrados carecen por completo de solución.
Este solucionador distingue ambos casos y, cuando existe una solución, identifica la mínima, es decir, aquella cuyo x positivo es menor. Como las soluciones de Pell pueden superar ampliamente el intervalo numérico seguro de JavaScript y de muchas bases de datos, x, y y D se devuelven como cadenas decimales. Estas representan enteros exactos, no aproximaciones.
El indicador solvable ofrece la decisión directa y los campos de solución se omiten cuando es falsa, sin valores nulos engañosos ni marcadores inventados. Se rechaza un D cuadrado perfecto porque queda fuera del dominio definido para esta herramienta.
Cómo deciden la resolubilidad las fracciones continuas
El cálculo utiliza la fracción continua simple y periódica de la raíz cuadrada de D. Para todo entero positivo no cuadrado, esa expansión posee un bloque repetitivo finito. Un teorema clásico proporciona una prueba precisa: la ecuación de Pell negativa es resoluble exactamente cuando el bloque periódico tiene longitud impar.
El solucionador genera la expansión únicamente mediante recurrencias enteras; nunca aproxima la raíz cuadrada con aritmética de coma flotante. En cada convergente mantiene el numerador y el denominador como enteros de precisión arbitraria y comprueba directamente la ecuación. Si una convergente produce −1, su numerador y denominador son los x e y positivos mínimos.
Si el período termina sin esa convergente, su longitud es par y la respuesta declara que no existe solución entera. Este método aporta a la vez una justificación verificable y la solución solicitada. Es determinista: una entrada idéntica recorre siempre la misma recurrencia y produce la misma salida, sin red, azar, reloj ni formatos numéricos regionales.
Cómo interpretar y utilizar el resultado
Introduzca D como entero mediante el campo d. Si el valor puede superar el intervalo entero seguro de su lenguaje, envíelo como cadena decimal exacta sin signo; el núcleo de cálculo acepta esa representación sin perder dígitos. Puede verificarlo con una biblioteca de enteros grandes comprobando x*x − D*y*y = −1.
Un resultado no resoluble conserva D y la longitud del período, pero omite x e y porque ningún valor cumpliría el contrato. Esta distinción resulta práctica en investigación, docencia y procesos de teoría de números: consulte solvable antes de leer la solución. Fracciones, enteros negativos, datos ausentes y cuadrados perfectos generan un error de entrada tipado, no una respuesta matemática.
Qué puede hacer con ella
Comprobar una conjetura de teoría de números
Pruebe valores no cuadrados de D y conserve las soluciones mínimas exactas para un análisis simbólico posterior.
Preparar ejemplos resueltos
Genere casos resolubles y no resolubles reproducibles para clases sobre irracionales cuadráticos y fracciones continuas.
Validar otra implementación
Compare un solucionador de Pell propio con resultados exactos deterministas, incluidos períodos y respuestas decimales muy grandes.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo es resoluble la ecuación de Pell negativa?
Es resoluble exactamente cuando la fracción continua periódica de la raíz cuadrada de D tiene un período de longitud impar.
¿Qué significa solución mínima?
Es la solución entera positiva con el menor x; con ella queda determinado el y positivo correspondiente.
¿Un solvable falso indica que la búsqueda terminó antes de tiempo?
No. Indica que el período de la fracción continua se cerró con longitud par, lo que demuestra que no existe solución entera.
¿Cuál es la menor solución cuando D vale 13?
Es x 18 e y 5. La fracción continua de la raíz cuadrada de 13 se repite con un periodo de 5, una longitud impar, así que hay solución, y 18 y 5 forman el menor par positivo.
¿En qué se diferencia de la ecuación de Pell ordinaria?
Solo cambia el signo, de +1 a −1, pero eso hace que la solución no esté garantizada. Algunos valores no cuadrados de D tienen solución y otros ninguna, así que primero se le indica en qué caso está.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":13}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": 13
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": 13
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":13}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":13}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"d": 13
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.negative_pell",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Las respuestas grandes se entregan como cadenas decimales para conservar cada dígito en JSON, navegadores, terminales y aplicaciones.
Qué plantea la ecuación de Pell negativa
Algunos valores funcionan de inmediato: para D = 2, el par x = 1 e y = 1 satisface la ecuación.
Cómo interpretar y utilizar el resultado
Un resultado satisfactorio incluye solvable con valor verdadero, period_length para el período de la fracción continua y las cadenas decimales exactas x e y. El navegador y la API comparten el mismo solucionador puro, con idénticas reglas de validación, recurrencia, minimalidad y exactitud. El uso de la API cuesta $0.002 por solicitud.
Preguntas técnicas
¿Por qué x e y se devuelven como cadenas?
Las soluciones de Pell pueden superar la precisión entera habitual de JSON y JavaScript. Las cadenas decimales conservan todos los dígitos.
¿Qué ocurre si D es un cuadrado perfecto?
La solicitud falla con un error invalid_input, pues esta capacidad solo está definida para valores no cuadrados de D.
¿Cuánto cuesta una solicitud API?
Cada solicitud API cuesta $0.002; también puede ejecutar gratuitamente el mismo solucionador determinista en el navegador.