Équation de Pell négative : solvabilité et solution minimale

Le solveur d’équation de Pell négative détermine si x au carré moins D fois y au carré égal à moins un admet une solution entière pour un entier positif non carré D. Si l’équation est résoluble, il renvoie exactement les plus petits x et y positifs, sans arrondi flottant. Il indique aussi la longueur de la période de la fraction continue qui décide de la solvabilité.

Ce que recherche l’équation de Pell négative

L’équation x² − Dy² = −1 ressemble à une légère variante de l’équation de Pell ordinaire, mais ce changement de signe rend l’existence d’une solution conditionnelle. D doit être un entier positif qui n’est pas un carré parfait, tandis que x et y sont recherchés parmi les entiers positifs. D’autres valeurs non carrées n’ont aucune solution.

Ce solveur distingue les deux cas et, lorsqu’une solution existe, trouve la solution minimale, c’est-à-dire celle dont le x positif est le plus petit. Les solutions de Pell pouvant dépasser largement la plage numérique sûre de JavaScript et de nombreuses bases de données, x, y et D sont renvoyés sous forme de chaînes décimales. Il s’agit d’entiers exacts, pas d’approximations.

L’indicateur solvable donne la décision directement ; les champs de solution sont omis lorsqu’il vaut faux, sans valeur nulle trompeuse ni substitut inventé. Un D carré parfait est refusé, car il sort du domaine défini pour cet outil.

Comment les fractions continues décident de la solvabilité

Le calcul repose sur la fraction continue simple périodique de la racine carrée de D. Pour tout entier positif non carré, ce développement possède un bloc répétitif fini. Un théorème classique fournit un critère exact : l’équation de Pell négative est résoluble si et seulement si la longueur de ce bloc est impaire.

Le solveur construit le développement uniquement avec des récurrences entières ; il n’estime jamais la racine carrée en virgule flottante. À chaque réduite, il conserve numérateur et dénominateur comme entiers de précision arbitraire, puis vérifie directement l’équation. Si une réduite produit −1, son numérateur et son dénominateur donnent les x et y positifs minimaux.

Si la période se referme sans cette réduite, sa longueur est paire et la réponse établit qu’aucune solution entière n’existe. Cette méthode livre en un seul passage une justification contrôlable et la solution demandée. Elle est déterministe : une même entrée suit toujours la même récurrence et fournit la même sortie, sans réseau, hasard, horloge ni format numérique régional.

Lire et exploiter le résultat sans perte

Saisissez D comme entier dans le champ d. Si sa valeur risque de dépasser la plage entière sûre de votre langage, transmettez une chaîne décimale exacte non signée ; le cœur de calcul accepte cette représentation sans perdre de chiffre. Vous pouvez le contrôler avec une bibliothèque de grands entiers en vérifiant x*x − D*y*y = −1.

Un résultat insoluble conserve D et la longueur de période, mais omet x et y puisqu’aucune valeur ne respecterait le contrat. Cette distinction facilite les scripts de recherche, les démonstrations pédagogiques et les traitements de théorie des nombres : examinez solvable avant de lire les champs de solution. Fractions, entiers négatifs, entrée absente et carrés parfaits provoquent une erreur de saisie typée plutôt qu’une réponse mathématique.