Equação de Pell negativa: solvabilidade e solução mínima

O solucionador da equação de Pell negativa determina se x ao quadrado menos D vezes y ao quadrado igual a menos um possui solução inteira para um D positivo e não quadrado. Quando há solução, ele retorna exatamente os menores valores positivos de x e y, sem arredondamento de ponto flutuante. Também informa o comprimento do período da fração contínua que decide a solvabilidade.

O que a equação de Pell negativa procura

A equação x² − Dy² = −1 parece uma pequena variação da equação de Pell comum, mas a mudança de sinal torna a existência de soluções condicional. D deve ser um inteiro positivo que não seja quadrado perfeito, e x e y são procurados entre os inteiros positivos. Outros valores não quadrados não possuem solução.

Este solucionador diferencia esses casos e, quando existe uma solução, identifica a mínima, isto é, aquela com o menor x positivo. Como soluções de Pell podem ultrapassar muito a faixa numérica segura do JavaScript e de diversos bancos de dados, x, y e D são devolvidos como strings decimais. Elas representam inteiros exatos, não aproximações.

O indicador solvable apresenta a decisão direta, e os campos da solução são omitidos quando ele é falso, evitando valores nulos enganosos ou marcadores inventados. Um D quadrado perfeito é rejeitado por estar fora do domínio definido para esta ferramenta.

Como as frações contínuas decidem a solvabilidade

O cálculo usa a fração contínua simples e periódica da raiz quadrada de D. Para todo inteiro positivo não quadrado, essa expansão tem um bloco de repetição finito. Um teorema clássico fornece um teste preciso: a equação de Pell negativa é solucionável exatamente quando o bloco periódico tem comprimento ímpar.

O solucionador gera a expansão somente com recorrências inteiras e nunca estima a raiz quadrada com aritmética de ponto flutuante. Em cada convergente, acompanha numerador e denominador como inteiros de precisão arbitrária e verifica diretamente a equação. Se uma convergente produzir −1, seu numerador e denominador serão os valores positivos mínimos de x e y.

Se o período se fechar sem essa convergente, o comprimento será par e a resposta informará que não existe solução inteira. O método oferece, em uma única passagem, uma justificativa verificável e a solução solicitada. Ele é determinístico: entradas idênticas sempre percorrem a mesma recorrência e geram a mesma saída, sem rede, aleatoriedade, relógio ou formatação numérica regional.

Como interpretar e usar o resultado

Informe D como inteiro no campo d. Se o valor puder ultrapassar a faixa inteira segura da linguagem utilizada, envie uma string decimal exata sem sinal; o núcleo computacional aceita essa representação sem perder dígitos. Você pode verificar o resultado com uma biblioteca de inteiros grandes, testando x*x − D*y*y = −1.

Um caso insolúvel mantém D e o comprimento do período, mas omite x e y, pois nenhum valor atenderia ao contrato. Essa distinção ajuda em pesquisas, demonstrações didáticas e pipelines de teoria dos números: consulte solvable antes de ler os campos da solução. Frações, inteiros negativos, entrada ausente e quadrados perfeitos produzem um erro de entrada tipado, e não uma resposta matemática.