Equazione di Pell negativa: solvibilità e soluzione minima
Scopra se x² − Dy² = −1 ha soluzioni intere e ottenga la più piccola: quando D vale 13, la risposta è x 18 e y 5, trovata con una frazione continua di periodo dispari 5. Anche le soluzioni molto grandi risultano esatte. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- D
- 13
- D
- 13
- Lunghezza del periodo
- 5
- X
- 18
- Y
- 5
Il risolutore dell’equazione di Pell negativa stabilisce se x al quadrato meno D per y al quadrato uguale a meno uno ammette una soluzione intera per un intero positivo non quadrato D. Quando l’equazione è risolvibile, restituisce esattamente i minori x e y positivi, senza arrotondamenti in virgola mobile. Indica inoltre la lunghezza del periodo della frazione continua che determina la risolvibilità.
Che cosa richiede l’equazione di Pell negativa
L’equazione x² − Dy² = −1 sembra una piccola variante della normale equazione di Pell, ma il cambio di segno rende condizionata l’esistenza delle soluzioni. D deve essere un intero positivo che non sia un quadrato perfetto, mentre x e y vanno cercati tra gli interi positivi. Altri valori non quadrati non hanno alcuna soluzione.
Il risolutore distingue questi casi e, quando una soluzione esiste, individua quella minima, cioè la soluzione con il più piccolo x positivo. Poiché le soluzioni di Pell possono superare ampiamente l’intervallo numerico sicuro di JavaScript e di molti database, x, y e D vengono restituiti come stringhe decimali. Sono interi esatti, non approssimazioni.
L’indicatore solvable comunica direttamente l’esito e i campi della soluzione vengono omessi quando è falso, evitando valori nulli fuorvianti o segnaposto inventati. Un D quadrato perfetto viene rifiutato perché non appartiene al dominio dell’equazione previsto da questo strumento.
Come le frazioni continue stabiliscono la risolvibilità
Il calcolo utilizza la frazione continua semplice periodica della radice quadrata di D. Per ogni intero positivo non quadrato, tale sviluppo contiene un blocco ripetuto finito. Un teorema classico offre una verifica precisa: l’equazione di Pell negativa è risolvibile esattamente quando il blocco periodico ha lunghezza dispari.
Il risolutore genera lo sviluppo solo con ricorrenze intere e non stima mai la radice quadrata con aritmetica in virgola mobile. A ogni convergente conserva numeratore e denominatore come interi a precisione arbitraria e verifica direttamente l’equazione. Se una convergente produce −1, numeratore e denominatore sono i valori positivi minimi x e y.
Se il periodo si chiude senza quella convergente, la sua lunghezza è pari e la risposta dichiara che non esiste una soluzione intera. Il metodo fornisce in un solo passaggio sia una motivazione verificabile sia la soluzione richiesta. È deterministico: lo stesso input segue sempre la stessa ricorrenza e produce lo stesso output, senza rete, casualità, orologio o formati numerici locali.
Come leggere e usare il risultato in sicurezza
Inserisca D come intero nel campo d. Se il valore può superare l’intervallo degli interi sicuri del linguaggio usato, invii una stringa decimale esatta senza segno; il nucleo di calcolo accetta questa rappresentazione senza perdere cifre. Può verificarlo con una libreria per grandi interi controllando x*x − D*y*y = −1.
Un caso non risolvibile conserva D e la lunghezza del periodo, ma omette x e y perché nessun valore potrebbe rispettare il contratto. Questa distinzione è utile nella ricerca, nella didattica e nelle pipeline di teoria dei numeri: controlli solvable prima di leggere i campi della soluzione. Frazioni, interi negativi, input mancante e quadrati perfetti producono un errore di input tipizzato invece di una risposta matematica.
Casi d'uso
Verificare una congettura di teoria dei numeri
Provi valori non quadrati scelti di D e registri le soluzioni minime esatte per successive analisi simboliche.
Preparare esempi svolti
Generi casi risolvibili e non risolvibili riproducibili per lezioni su irrazionali quadratici e frazioni continue.
Convalidare un’altra implementazione
Confronti un proprio risolutore di Pell con risultati esatti deterministici, inclusi periodi e risposte decimali molto grandi.
Domande frequenti
Quando è risolvibile l’equazione di Pell negativa?
È risolvibile esattamente quando la frazione continua periodica della radice quadrata di D ha un periodo di lunghezza dispari.
Che cosa significa soluzione minima?
È la soluzione intera positiva con il minore x; insieme a esso viene determinato il corrispondente y positivo.
solvable falso significa che la ricerca si è fermata in anticipo?
No. Significa che il periodo della frazione continua si è chiuso con lunghezza pari, dimostrando che non esiste alcuna soluzione intera.
Qual è la soluzione più piccola quando D vale 13?
È x 18 e y 5. La frazione continua della radice quadrata di 13 si ripete con periodo 5, una lunghezza dispari, quindi la soluzione esiste, e 18 e 5 formano la coppia positiva più piccola.
In che cosa differisce dall'equazione di Pell ordinaria?
Cambia solo il segno, da +1 a −1, ma questo rende la soluzione non garantita. Alcuni valori non quadrati di D hanno soluzione e altri nessuna, quindi prima le viene detto in quale caso si trova.
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Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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}Esempio di risposta
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Prezzi
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Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Le risposte grandi sono fornite come stringhe decimali, così ogni cifra resta intatta in JSON, browser, terminali e applicazioni.
Che cosa richiede l’equazione di Pell negativa
Alcuni valori funzionano subito: per D = 2, la coppia x = 1 e y = 1 soddisfa l’equazione.
Come leggere e usare il risultato in sicurezza
Un esito positivo include solvable impostato a vero, period_length per il periodo della frazione continua e le stringhe decimali esatte x e y. Browser e API condividono lo stesso risolutore puro e applicano quindi identiche regole di validazione, ricorrenza, minimalità e precisione. L’uso dell’API costa $0.002 per richiesta.
Domande tecniche
Perché x e y vengono restituiti come stringhe?
Le soluzioni di Pell possono superare la normale precisione intera di JSON e JavaScript. Le stringhe decimali conservano esattamente ogni cifra.
Che cosa accade se D è un quadrato perfetto?
La richiesta fallisce con un errore invalid_input perché questa capacità è definita soltanto per valori non quadrati di D.
Quanto costa una richiesta API?
Ogni richiesta API costa $0.002; lo stesso risolutore deterministico può essere eseguito gratuitamente anche nel browser.