Calcolatore numeri di Pell
P10 vale 2378: ogni numero di Pell è il doppio del precedente più quello ancora prima, partendo da 0, 1, 2, 5, 12, 29. Indichi un indice fino a 10000 e ottenga il termine esatto, con tutte le cifre, e l'elenco completo se le serve. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 10
- Pell
- 2378
- Cifre
- 4
- N massimo
- 10.000
Il calcolatore di numeri di Pell restituisce il termine n-esimo della successione di Pell, una classica ricorrenza intera strettamente legata alla frazione continua della radice quadrata di due e alle soluzioni dell'equazione di Pell. Per definizione P0 è uguale a zero, P1 è uguale a uno, e ogni termine successivo è il doppio del termine precedente più il termine prima di quello, quindi l'inizio della successione è zero, uno, due, cinque, dodici, ventinove, settanta, centosessantanove, e così via. Fornisci un indice n non negativo e lo strumento restituisce quel numero di Pell esattamente come stringa decimale, così i valori ben oltre gli interi sicuri di JavaScript restano corretti. Puoi opzionalmente chiedere il prefisso completo da P0 a Pn quando ti serve l'intera lista per una scheda di esercizi, un grafico o un test unitario. Il motore usa aritmetica BigInt deterministica, senza scorciatoie in virgola mobile, senza campionamento casuale e senza chiamate di rete.
Cosa sono i numeri di Pell e cosa contiene la risposta
Crescono approssimativamente come (1 + sqrt(2))^n, appaiono in forme chiuse che coinvolgono il rapporto argenteo, e affiancano i numeri compagni di Pell-Lucas nelle tabelle di teoria dei numeri, pur restando semplici da insegnare come ricorrenza lineare a due termini con un coefficiente diverso da uno. Questo calcolatore restituisce l'indice n richiesto, il valore di Pell come stringa decimale sotto il campo pell, il numero di cifre in quella stringa e il massimo n supportato pubblicato così i client possono validare prima di inviare un lotto.
Quando imposti il flag opzionale sequence su true, la risposta include anche un array di stringhe decimali per P0 fino a Pn incluso, così non devi mai ricostruire tu stesso il prefisso. I casi respinti includono n mancante, valori non interi, frazioni, notazione scientifica, valori oltre il tetto documentato e qualunque indice negativo. Quest'ultima regola è intenzionale: la successione di Pell standard è indicizzata da zero in su, e un n negativo è trattato come errore del client piuttosto che come estensione tramite ricorrenze con segno o inverse.
Se ti servono numeri di Fibonacci, numeri di Lucas, primi per rango o orbite di Collatz, usa quegli strumenti dedicati; questa pagina risponde solo alla domanda rango-a-valore di Pell con elenco opzionale della sequenza.
Dove si usano i numeri di Pell nello studio, nel codice e nella didattica
Gli studenti incontrano i numeri di Pell quando un manuale li collega alle frazioni continue di sqrt(2), quando una scheda di esercizi chiede P_n per un n modesto, o quando esplorano soluzioni di x al quadrato meno due y al quadrato uguale più o meno uno. Gli insegnanti possono pregenerare chiavi di risposta e prefissi completi per un set di problemi senza fidarsi di app di calcolo opache che arrotondano grandi interi.
La pratica in gare ha spesso bisogno di una fonte veloce e offline di valori di Pell per rango, così le soluzioni possono essere verificate senza scaricare tabelle OEIS sotto pressione di tempo. I divulgatori scientifici usano brevi successioni di Pell come esempio pulito di ricorrenza lineare con coefficiente due che comunque produce interi puri, il che si abbina bene a grafici del numero di cifre rispetto a n.
Casi d'uso
Compiti a casa e preparazione agli esami
Cerca valori esatti di P_n e prefissi completi opzionali per esercizi del manuale e problemi di gara che elencano numeri di Pell per indice.
Insegnare ricorrenze e BigInt
Mostra come cresce una ricorrenza a due termini con coefficiente due, e come l'uscita come stringa decimale mantiene esatta ogni cifra oltre gli interi sicuri.
Domande frequenti
Come ottengo la sequenza completa fino a Pn?
La risposta include allora un array sequence di stringhe decimali da P0 a Pn.
Perché il risultato è una stringa invece di un numero?
I grandi numeri di Pell superano gli interi sicuri di JavaScript.
Fino a quale indice arriva il calcolo?
Fino a 10000. Tutti i termini fino a quell'indice risultano esatti, con tutte le cifre, perché il calcolo usa l'aritmetica dei numeri interi senza arrotondamenti. Accanto al risultato è indicato quante cifre ha.
In che cosa la successione di Pell differisce da quella di Fibonacci?
Entrambe costruiscono ogni termine dai due precedenti, ma Pell conta due volte il termine precedente: il doppio dell'ultimo più il penultimo. Questo fattore due fa crescere i termini all'incirca come (1 + √2) elevato alla n.
Posso usare un indice negativo?
No. L'indice deve essere un numero intero da 0 in su; valori negativi, frazioni e numeri in notazione scientifica vengono rifiutati invece di essere interpretati. P0 vale 0 e P1 vale 1.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 10
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pell_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_n | 10000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa sono i numeri di Pell e cosa contiene la risposta
I numeri di Pell formano la successione intera definita da P0 = 0, P1 = 1, e Pn = 2 volte P(n-1) più P(n-2) per ogni n almeno pari a due. Non c'è una formula approssimata in virgola mobile presentata come verità e nessun campionamento di numeri primi casuali: il motore costruisce il termine esatto entro l'intervallo supportato oppure rifiuta l'input con invalid_input.
Come viene letto l'indice e come BigInt mantiene esatta ogni cifra
Il segno più iniziale opzionale è ammesso; spazi incorporati, prefissi esadecimali, segni negativi e notazione esponenziale vengono respinti con un messaggio chiaro, così che una cella sbagliata non diventi un numero di Pell errato. Zero è valido e restituisce zero, perché P0 è definito come zero nella successione classica. Il calcolo è un semplice ciclo iterativo: parte da BigInt zero e BigInt uno, poi sostituisce ripetutamente la coppia con il successivo uguale a due volte il termine corrente più il termine precedente, fino a raggiungere l'indice richiesto. Il booleano opzionale sequence accetta anche forme di stringa comuni come true, false, yes e no per chi chiama da moduli. Il campo preferito è n come intero JSON, ma sono accettate anche stringhe decimali e gli alias index e k, così che fogli di calcolo, stringhe di query e moduli tipizzati possano riusare lo stesso contratto. Il motore applica un massimo rigido di diecimila su n, il che mantiene memoria e latenza entro un budget prevedibile sul percorso gratuito del browser e sul Worker edge anche quando il flag sequence è abilitato e ogni termine intermedio viene raccolto. Ogni termine è memorizzato come BigInt e serializzato con toString così il JSON non perde mai cifre come farebbero i double IEEE oltre il cinquantatreesimo bit. Abbina l'esecuzione gratuita nel browser di questa pagina all'API a pagamento quando ti serve lo stesso risultato matematico dentro una pipeline automatizzata senza reimplementare da solo la ricorrenza.
Dove si usano i numeri di Pell nello studio, nel codice e nella didattica
Gli sviluppatori richiamano lo stesso contratto da script per generare vettori di test deterministici, per illustrare la serializzazione sicura per BigInt nelle API, o per soddisfare enunciati di programming-challenge che richiedono l'esatto numero di Pell n-esimo invece di una forma chiusa approssimata. In questa pagina il lavoro gira interamente nel tuo browser; tramite l'API ogni ricerca riuscita costa $0.002, la validazione fallita non viene addebitata e nulla viene conservato dopo la restituzione della risposta. Questa distinzione — esplorazione interattiva gratuita e API a pagamento identica — corrisponde al resto del catalogo tier A del KIT e ti permette di passare da una dimostrazione in classe a una pipeline automatizzata senza cambiare il risultato matematico. Abbinalo a un calcolatore di Lucas quando ti servono successioni compagne, a uno strumento per l'n-esimo primo quando ti servono primi per rango, e ad altri strumenti di matematica e teoria dei numeri quando costruisci un piccolo laboratorio di endpoint gratuiti e deterministici.
Casi di integrazione
Fixture di test deterministiche
Genera stringhe di Pell riproducibili per test unitari, verifiche di proprietà e asserzioni CI senza incorporare grandi tabelle statiche.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore dei numeri di Pell?
È gratuito nel browser su questa pagina. Tramite l'API una richiesta riuscita costa $0.002; gli input non validi non vengono addebitati.
Cosa sono P0 e P1?
P0 è 0 e P1 è 1. I termini successivi seguono Pn = 2*P(n-1) + P(n-2). Inviare n = 0 restituisce 0; n = 1 restituisce 1.
Posso richiedere un indice negativo?
No. Un n negativo viene respinto con invalid_input. Questo calcolatore definisce i numeri di Pell solo per n maggiore o uguale a zero.