Calculadora de número de Pell
P10 é 2378: cada número de Pell é o dobro do anterior mais o que vem antes dele, começando por 0, 1, 2, 5, 12, 29. Informe um índice até 10000 e receba o termo exato, com todos os dígitos, e a lista completa se quiser. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Índice n
- 10
- Valor de Pell
- 2378
- Dígitos
- 4
- N máximo
- 10.000
A calculadora de número de Pell retorna o enésimo termo da sequência de Pell, uma recorrência inteira clássica intimamente ligada à fração contínua da raiz quadrada de dois e às soluções da equação de Pell. Por definição, P0 é igual a zero, P1 é igual a um, e cada termo posterior é o dobro do termo anterior mais o termo anterior a esse, então o início da sequência é zero, um, dois, cinco, doze, vinte e nove, setenta, cento e sessenta e nove, e assim por diante. Informe um índice n inteiro não negativo e a ferramenta retorna esse número de Pell exatamente como uma string decimal, para que valores muito além dos inteiros seguros do JavaScript permaneçam corretos. Você pode opcionalmente pedir o prefixo completo de P0 até Pn quando precisar da lista inteira para uma planilha de exercícios, um gráfico ou um teste unitário. O mecanismo usa aritmética determinística com BigInt, sem atalhos de ponto flutuante, sem amostragem aleatória e sem chamada de rede.
O que são números de Pell e o que a resposta contém
Eles crescem aproximadamente como (1 + raiz de 2)^n, aparecem em fórmulas fechadas envolvendo a razão de prata, e ficam ao lado dos números companheiros de Pell-Lucas em tabelas de teoria dos números, permanecendo diretos de ensinar como uma recorrência linear de dois termos com um coeficiente diferente de um. Esta calculadora retorna o índice n solicitado, o valor de Pell como uma string decimal no campo pell, o número de dígitos nessa string, e o n máximo suportado publicado, para que clientes possam validar antes de enviar um lote.
Quando você define o sinalizador opcional sequence como true, a resposta também inclui um array de strings decimais de P0 até Pn inclusive, para que você nunca precise reconstruir o prefixo você mesmo. Essa última regra é intencional: a sequência de Pell padrão é indexada a partir de zero para cima, e um n negativo é tratado como um erro do cliente, e não como uma extensão via recorrências com sinal ou reversas.
Se você precisar de números de Fibonacci, números de Lucas, primos por posição, ou órbitas de Collatz, use essas ferramentas dedicadas; esta página responde apenas à pergunta de posição para valor de Pell, com listagem opcional de sequência.
Onde os números de Pell se encaixam no estudo, no código e no ensino
Estudantes encontram números de Pell quando um livro didático os liga a frações contínuas de raiz de 2, quando uma planilha de exercícios pede P_n para um n modesto, ou quando eles exploram soluções de x ao quadrado menos duas vezes y ao quadrado igual a mais ou menos um. Professores podem gerar gabaritos e prefixos completos previamente para um conjunto de problemas sem confiar em aplicativos de calculadora opacos que arredondam inteiros grandes.
Desenvolvedores chamam o mesmo contrato a partir de scripts para gerar vetores de teste determinísticos, para ilustrar serialização segura com BigInt em APIs, ou para atender enunciados de desafios de programação que exigem o enésimo número de Pell exato em vez de uma fórmula fechada aproximada. A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de valores de Pell por posição, para que soluções possam ser verificadas sem baixar tabelas do OEIS sob pressão de tempo.
Comunicadores de ciência usam sequências curtas de Pell como um exemplo limpo de uma recorrência linear com coeficiente dois que ainda produz inteiros puros, o que combina bem com gráficos de contagem de dígitos contra n.
Casos de uso
Tarefas de casa e preparação para provas
Consulte valores exatos de P_n e prefixos completos opcionais para exercícios de livro didático e problemas de concurso que listam números de Pell por índice.
Ensino de recorrências e BigInt
Mostre como uma recorrência de dois termos com coeficiente dois cresce, e como a saída em string decimal mantém cada dígito exato além dos inteiros seguros.
Perguntas frequentes
Posso solicitar um índice negativo?
Esta calculadora define números de Pell apenas para n maior ou igual a zero.
Como eu obtenho a sequência completa até Pn?
A resposta então inclui um array sequence de strings decimais de P0 até Pn.
Por que o resultado é uma string em vez de um número?
Números de Pell grandes excedem os inteiros seguros do JavaScript.
Até que índice a calculadora vai?
Até o 10000. Todos os termos até esse índice saem exatos, com todos os dígitos, porque o cálculo usa aritmética de números inteiros sem arredondamento. Ao lado do resultado aparece quantos dígitos ele tem.
Qual a diferença entre a sequência de Pell e a de Fibonacci?
As duas formam cada termo a partir dos dois anteriores, mas Pell conta o termo anterior duas vezes: o dobro do último mais o penúltimo. Esse fator dois faz os termos crescerem aproximadamente como (1 + √2) elevado a n.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/pell-number", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.pell_number",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 10000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que são números de Pell e o que a resposta contém
Números de Pell formam a sequência inteira definida por P0 = 0, P1 = 1, e Pn = 2 vezes P(n-1) mais P(n-2) para todo n de pelo menos dois. Não há fórmula aproximada de ponto flutuante apresentada como verdade, nem amostragem de primos aleatórios: o mecanismo constrói o termo exato dentro da faixa suportada ou rejeita a entrada com invalid_input. Os casos rejeitados incluem n ausente, não inteiros, frações, notação científica, valores acima do teto documentado, e qualquer índice negativo.
Como o índice é lido e como o BigInt mantém cada dígito exato
Sinais de mais à esquerda são permitidos; espaços incorporados, prefixos hexadecimais, sinais negativos e notação exponencial são rejeitados com uma mensagem clara, para que uma célula ruim não vire um número de Pell errado. Zero é válido e retorna zero, porque P0 é definido como zero na sequência clássica. O cálculo é um loop iterativo simples: começa a partir de BigInt zero e BigInt um, depois repetidamente substitui o par com o próximo igual a duas vezes o termo atual mais o termo anterior, até que o índice solicitado seja alcançado. O booleano opcional sequence também aceita formas de string comuns como true, false, yes e no, para chamadores amigáveis a formulários. O campo preferido é n como um número inteiro JSON, mas strings decimais e os apelidos index e k são aceitos, para que planilhas, strings de consulta e formulários digitados possam reutilizar o mesmo contrato. O mecanismo impõe um máximo rígido de dez mil em n, o que mantém a memória e a latência dentro de um orçamento previsível no caminho gratuito do navegador e no Worker de borda, mesmo quando o sinalizador sequence está ativado e cada termo intermediário é coletado. Cada termo é armazenado como um BigInt e serializado com toString, para que o JSON nunca perca dígitos como os doubles IEEE perderiam depois do quinquagésimo terceiro bit. Combine a execução gratuita no navegador desta página com a API paga quando precisar do mesmo resultado matemático dentro de um pipeline automatizado sem reimplementar você mesmo a recorrência.
Onde os números de Pell se encaixam no estudo, no código e no ensino
Nesta página, o trabalho roda inteiramente no seu navegador; pela API, cada consulta bem-sucedida custa US$ 0,002, a validação com falha não é cobrada, e nada é armazenado depois que a resposta é devolvida. Essa divisão — exploração interativa gratuita e uma API paga e idêntica — segue o padrão do restante do catálogo tier A do KIT e permite ir de uma demonstração em sala de aula a um pipeline automatizado sem mudar o resultado matemático. Combine-a com uma calculadora de Lucas quando precisar de sequências companheiras, com uma ferramenta de enésimo primo quando precisar de primos por posição, e com outras ferramentas de matemática e teoria dos números ao montar um pequeno laboratório de endpoints gratuitos e determinísticos.
Casos de integração
Fixtures de teste determinísticas
Gere strings de Pell reproduzíveis para testes unitários, verificações de propriedades e asserções de CI sem embutir tabelas estáticas grandes.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de número de Pell?
É gratuita no navegador, nesta página. Pela API, uma solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.
O que são P0 e P1?
P0 é 0 e P1 é 1. Os termos posteriores seguem Pn = 2*P(n-1) + P(n-2). Enviar n = 0 retorna 0; n = 1 retorna 1.