معادلة بيل السالبة: اختبار القابلية وإيجاد الحل الأدنى
اعرف هل للمعادلة x² − Dy² = −1 حلول صحيحة واحصل على أصغرها: عندما تكون D مساوية 13 يكون الحل x 18 وy 5، ويُستخرج من كسر مستمر دورته فردية طولها 5. وحتى الحلول الكبيرة جدًا تظهر بدقة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- D
- 13
- D
- 13
- طول الدورة
- 5
- X
- 18
- Y
- 5
تحدد أداة حل معادلة بيل السالبة ما إذا كانت x تربيع ناقص D في y تربيع تساوي سالب واحد تقبل حلاً صحيحاً عندما يكون D عدداً صحيحاً موجباً غير مربع كامل. وعندما تكون المعادلة قابلة للحل، تعيد أصغر قيمتين موجبتين x وy بدقة ومن دون تقريب الفاصلة العائمة. كما تعرض طول دورة الكسر المستمر الذي يحسم قابلية الحل.
ما الذي تبحث عنه معادلة بيل السالبة
تبدو المعادلة x² − Dy² = −1 تعديلاً بسيطاً لمعادلة بيل العادية، غير أن تغيير الإشارة يجعل وجود الحل مشروطاً. يجب أن يكون D عدداً صحيحاً موجباً ليس مربعاً كاملاً، بينما يُبحث عن x وy ضمن الأعداد الصحيحة الموجبة. ولا تملك قيم أخرى غير مربعة أي حل.
تميز هذه الأداة بين الحالتين، وإذا وُجد حل فإنها تعين الحل الأدنى، أي الحل الذي تكون فيه قيمة x الموجبة أصغر ما يمكن. ولأن حلول بيل قد تتجاوز بكثير المجال العددي الآمن في JavaScript وقواعد بيانات عديدة، تُعاد x وy وD في صورة سلاسل عشرية. وتمثل هذه السلاسل أعداداً صحيحة دقيقة لا قيماً تقريبية.
يقدم الحقل solvable القرار مباشرة، وتُحذف حقول الحل عندما تكون قيمته خاطئة بدلاً من عرض قيم null مضللة أو بدائل مختلقة. أما D الذي يكون مربعاً كاملاً فيُرفض لأنه خارج نطاق معادلة بيل المحدد لهذه الأداة.
كيف تحسم الكسور المستمرة قابلية الحل
يعتمد الحساب على الكسر المستمر البسيط الدوري للجذر التربيعي لـ D. ولكل عدد صحيح موجب غير مربع، يحتوي هذا التوسع على كتلة تكرار منتهية. تقدم مبرهنة كلاسيكية اختباراً دقيقاً: تكون معادلة بيل السالبة قابلة للحل إذا وفقط إذا كان طول الكتلة الدورية فردياً.
تولد الأداة التوسع بعلاقات تكرارية صحيحة فقط، ولا تقرّب الجذر التربيعي بحساب الفاصلة العائمة. وعند كل كسر تقريبي، تحفظ البسط والمقام كعددين صحيحين بدقة غير محدودة وتتحقق من المعادلة الأصلية مباشرة. إذا أعطى كسر تقريبي القيمة −1، كان بسطه ومقامه هما القيمتين الموجبتين الأدنى x وy.
وإذا اكتملت الدورة من دون ذلك، كان طولها زوجياً وأثبتت النتيجة عدم وجود حل صحيح. يتيح هذا الأسلوب سبباً قابلاً للتحقق ونتيجة مطلوبة في مرور واحد. وهو حتمي؛ فالمدخل نفسه يتبع دائماً العلاقة التكرارية ذاتها ويعطي المخرج نفسه، من دون شبكة أو عشوائية أو قراءة للوقت أو اعتماد على تنسيق الأعداد المحلي.
كيفية قراءة النتيجة واستخدامها بأمان
أدخلوا D كعدد صحيح في الحقل d. وإذا أمكن أن تتجاوز القيمة مجال الأعداد الصحيحة الآمن في لغة البرمجة المستخدمة، فأرسلوها كسلسلة عشرية دقيقة بلا إشارة؛ إذ يقبل محرك الحساب هذا التمثيل من دون فقد أي خانة. ويمكن التحقق منها مستقلاً بمكتبة للأعداد الصحيحة الكبيرة وفحص x*x − D*y*y = −1.
أما النتيجة غير القابلة للحل فتحتفظ بـ D وطول الدورة، لكنها تحذف x وy لعدم وجود قيم تفي بالعقد. يفيد هذا الفرق في نصوص البحث والعروض التعليمية ومسارات نظرية الأعداد؛ افحصوا solvable قبل قراءة حقول الحل. تؤدي الكسور والأعداد السالبة والمدخلات الناقصة والمربعات الكاملة إلى خطأ إدخال مصنف بدلاً من جواب رياضي.
حالات الاستخدام
اختبار حدسية في نظرية الأعداد
اختبروا قيماً مختارة غير مربعة لـ D وسجلوا الحلول الدنيا الدقيقة لاستخدامها في تحليل رمزي لاحق.
إعداد أمثلة محلولة
أنشئوا حالات قابلة للحل وأخرى غير قابلة له بصورة قابلة للتكرار لدروس الأعداد غير النسبية التربيعية والكسور المستمرة.
التحقق من تنفيذ آخر
قارنوا أداة بيل خاصة بكم بنتائج دقيقة وحتمية، بما فيها أطوال الدورات والإجابات العشرية الكبيرة جداً.
الأسئلة الشائعة
متى تكون معادلة بيل السالبة قابلة للحل؟
تكون قابلة للحل إذا وفقط إذا كان طول دورة الكسر المستمر الدوري للجذر التربيعي لـ D فردياً.
ماذا يعني الحل الأدنى؟
هو الحل الصحيح الموجب الذي يملك أصغر قيمة x، وتتحدد معه قيمة y الموجبة الموافقة.
هل تعني قيمة solvable الخاطئة أن البحث توقف مبكراً؟
لا. تعني أن دورة الكسر المستمر اكتملت بطول زوجي، وهذا يثبت عدم وجود حل صحيح.
ما أصغر حل عندما تكون D مساوية 13؟
هو x 18 وy 5. يتكرر الكسر المستمر للجذر التربيعي للعدد 13 بدورة طولها 5، وهو طول فردي، لذا يوجد حل، و18 و5 هما أصغر زوج موجب.
بماذا تختلف عن معادلة بيل العادية؟
تتغير الإشارة فقط من +1 إلى −1، لكن ذلك يجعل وجود الحل غير مضمون. فبعض قيم D غير المربعة لها حل وبعضها لا حل لها إطلاقًا، لذا تخبرك النتيجة أولًا بالحالة التي أنت فيها.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":13}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": 13
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": 13
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":13}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":13}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/negative-pell", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"d": 13
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.negative_pell",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
وتصدر النتائج الكبيرة كسلاسل عشرية، لكي تبقى جميع الخانات محفوظة عند نقلها عبر JSON والمتصفحات والطرفيات والتطبيقات.
ما الذي تبحث عنه معادلة بيل السالبة
تنجح بعض القيم مباشرة؛ فعندما D = 2 يحقق الزوج x = 1 وy = 1 المعادلة.
كيفية قراءة النتيجة واستخدامها بأمان
تتضمن النتيجة الناجحة solvable بالقيمة الصحيحة، وperiod_length لطول دورة الكسر المستمر، والسلسلتين العشريتين الدقيقتين x وy. يستخدم المتصفح وAPI الأداة النقية نفسها، ولذلك يطبقان قواعد متطابقة للتحقق والعلاقة التكرارية والحد الأدنى والإخراج الدقيق. تبلغ كلفة استخدام API مقدار $0.002 لكل طلب.
أسئلة تقنية
لماذا تُعاد x وy كسلاسل نصية؟
قد تتجاوز حلول بيل دقة الأعداد الصحيحة المعتادة في JSON وJavaScript، وتحفظ السلاسل العشرية كل خانة بدقة.
ماذا يحدث إذا كان D مربعاً كاملاً؟
يفشل الطلب بخطأ invalid_input لأن هذه القدرة معرفة فقط لقيم D غير المربعة.
ما كلفة طلب API؟
يكلف كل طلب API مقدار $0.002، ويمكن أيضاً تشغيل الأداة الحتمية نفسها مجاناً في المتصفح.