حل معادلة بيل
احصل على أصغر حل موجب للمعادلة x² − Dy² = 1 لقيمة D غير مربعة: مع 2 يكون x 3 وy 2، ومع 61 يقفز إلى x 1766319049 وy 226153980، بدقة حتى آخر رقم. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- D
- 61
- X
- 1766319049
- Y
- 226153980
- التكرارات
- 22
تجد أداة حل معادلة بيل الحل الأساسي للمعادلة x² − Dy² = 1 عندما يكون D عددًا صحيحًا موجبًا غير مربع كامل. أدخلوا D لتحصلوا على أصغر زوج من العددين الصحيحين الموجبين x وy يحقق المعادلة. يعتمد الحساب على عمليات صحيحة دقيقة، ولذلك تبقى الإجابات التي تتجاوز المجال العددي المعتاد في JavaScript صحيحة تمامًا. تفيد الأداة في تمارين نظرية الأعداد، ودراسة الكسور المستمرة، واختبار الخوارزميات، والبرامج التي تحتاج إلى حل معياري موثوق لمعادلة بيل.
معنى الحل الأساسي
عند تثبيت عدد صحيح موجب D ليس مربعًا كاملًا، تبحث معادلة بيل عن قيم صحيحة تحقق x² − Dy² = 1. توجد حلول موجبة لا نهائية، لكنها تتولد من زوج واحد أصغر غير تافه. تعيد هذه الحاسبة ذلك الزوج الذي يسمى الحل الأساسي: يكون x وy موجبين، وتتحقق المطابقة بدقة، ولا توجد قيمة موجبة أصغر من x تحل المعادلة نفسها.
يجب أن يكون الإدخال عددًا صحيحًا من 2 إلى 10,000,000. يُرفض D إذا كان مربعًا كاملًا، لأن x² − Dy² يتحلل إلى (x − √D y)(x + √D y)، ولا يوجد عندئذ حل موجب تكون فيه y أكبر من صفر. تُعاد النتائج كسلاسل عشرية لا كقيم فاصلة عائمة.
يحفظ هذا التمثيل كل رقم حين يكون الحل الأساسي كبيرًا على نحو غير متوقع، وهو أمر يحدث حتى لبعض قيم D المتوسطة. يمكنكم لذلك نسخ الإجابة إلى نظام جبر حاسوبي أو مكتبة دقة اعتباطية من دون تقريب مسبق.
كيف تصل الكسور المستمرة إلى الإجابة
توسّع الخوارزمية √D في صورة كسر مستمر بسيط دوري. تقدم مقارباته تقريبًا نسبيًا p/q يزداد دقةً للقيمة √D، إلى أن يحقق بسط إحدى المقاربات ومقامها العلاقة p² − Dq² = 1. تحدّث الأداة حالة الكسر المستمر وعلاقتي التكرار للمقاربات بعمليات صحيحة حتمية.
بعد كل خطوة تختبر مطابقة بيل باستخدام حساب BigInt، ثم تعيد أول حل موجب فورًا. تكون أول مقاربة ناجحة هي الحل الأساسي، ولذلك لا تحتاج الأداة إلى البحث في أزواج صحيحة اعتباطية أو تخمين نطاق x وy. يبين عدد التكرارات عدد المقاربات التي اختُبرت، بما فيها الجزء الصحيح الأولي من √D.
يفيد هذا الحقل في مقارنة أطوال الدورات أو فحص الأداء، لكنه لا يغير النتيجة الرياضية. لا يستخدم اختبار المطابقة النهائي أي تقريب عددي. تُستخدم عملية الجذر التربيعي العادية فقط للحصول على الأرضية الصحيحة الدقيقة ضمن نطاق D المحدد، بينما تظل قيم الحل الكبيرة المحتملة وجميع اختبارات المساواة دقيقة بالكامل.
استخدام القيم المعادة والتحقق منها
يُقبل أيضًا الاسم البديل D بالحرف الكبير عند نسخ الصيغ المكتوبة بالترميز الشائع. تتضمن الاستجابة الناجحة d وx وy وiterations. تعاملوا في شيفرة تطبيقكم مع x وy كسلسلتين لعددين صحيحين عشريين: تستطيع اللغات التي تدعم أعدادًا صحيحة بدقة اعتباطية تحويلهما مباشرة، أما الأنظمة المقيدة بأعداد ثابتة العرض فعليها إبقاء السلسلتين أو استخدام مكتبة للأعداد الصحيحة الكبيرة.
للتحقق المستقل، ربّعوا x واطرحوا D مضروبًا في مربع y، ثم تأكدوا من أن الناتج يساوي واحدًا بالضبط. نفذوا التحقق بحساب صحيح لا بفاصلة عائمة. تؤدي الأنواع غير الصالحة والكسور والقيم خارج النطاق المنشور والمربعات الكاملة إلى خطأ إدخال بدلًا من نتيجة مضللة.
لا تستخدم الأداة شبكة أو عشوائية أو حالة مخزنة أو التاريخ الحالي، ولذلك يعطي D نفسه الاستجابة نفسها دائمًا.
حالات الاستخدام
تحققوا من تمارين نظرية الأعداد
احسبوا أصغر حل معياري، ثم قارنوا توسعًا يدويًا للكسر المستمر بالقيم الدقيقة لـx وy.
أنشئوا حالات اختبار حتمية
ولّدوا حلول بيل الدقيقة للتحقق من حساب الدقة الاعتباطية أو علاقات التكرار أو إجراءات الجبر الحاسوبي.
استكشفوا دورات الكسور المستمرة
قارنوا أعداد التكرارات وأحجام الحلول لقيم مختلفة غير مربعة من D.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعيد أداة الحل؟
تعيد d والحل الأساسي الموجب x وy كسلاسل عشرية دقيقة، إضافة إلى عدد المقاربات التي اختُبرت.
لماذا تعاد x وy كسلسلتين؟
تحفظ السلاسل العشرية كل الأرقام من دون تقريب.
لماذا يُرفض D إذا كان مربعًا كاملًا؟
عندما يكون D مربعًا لا يوجد حل بيل غير تافه بقيمة y موجبة، ومن ثم لا يوجد حل أساسي موجب.
ما نطاق الإدخال المدعوم؟
يجب أن يكون D عددًا صحيحًا غير مربع من 2 إلى 10,000,000.
ما الحل الأساسي عندما تكون D مساوية 61؟
هو x 1766319049 وy 226153980. تصل إليه الأداة بعد اختبار 22 من المتقاربات للكسر المستمر للجذر التربيعي للعدد 61، وكل أرقامه دقيقة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"d":61}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"d": 61
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"d": 61
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"d":61}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"d":61}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"d": 61
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.pell_equation_solver",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_d | 10000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
معنى الحل الأساسي
مثلًا، عندما يكون D = 2 تكون النتيجة x = 3 وy = 2 لأن 3² − 2 × 2² يساوي 1.
استخدام القيم المعادة والتحقق منها
أرسلوا كائنًا يحوي الحقل d، مثل {"d": 13}. يناسب المتصفح الحسابات الفردية، بينما تبلغ كلفة API مقدار $0.002 لكل طلب عند دمجها في برنامج نصي أو خدمة تعليمية أو حزمة اختبارات.
أسئلة تقنية
ما تكلفة استدعاء API؟
تبلغ تكلفة كل طلب API مقدار $0.002. ويمكنكم أيضًا تشغيل الأداة مجانًا في المتصفح.