Ecuación de Pell

El solucionador de la ecuación de Pell calcula la solución fundamental de x² − Dy² = 1 para un entero positivo D que no sea un cuadrado perfecto. Introduzca D y recibirá el menor par de enteros positivos x e y que satisface la igualdad. El cálculo emplea aritmética entera exacta, por lo que conserva incluso resultados que superan el intervalo numérico habitual de JavaScript. Resulta útil para ejercicios de teoría de números, el estudio de fracciones continuas, pruebas de algoritmos y programas que necesitan una solución canónica fiable.

Qué significa la solución fundamental

Para un entero positivo D fijo que no sea cuadrado, la ecuación de Pell busca valores enteros que cumplan x² − Dy² = 1. Existen infinitas soluciones positivas, pero todas se generan a partir de un único par no trivial mínimo. Esta calculadora devuelve ese par, denominado solución fundamental: x e y son positivos, la identidad se cumple exactamente y no existe un x positivo menor que resuelva la misma ecuación.

La entrada debe ser un número entero entre 2 y 10,000,000. Los cuadrados perfectos se rechazan porque x² − Dy² se factoriza como (x − √D y)(x + √D y), de modo que no existe una solución positiva con y mayor que cero. Los resultados se expresan como cadenas decimales, no como valores de coma flotante.

Así se conserva cada dígito cuando la solución fundamental es extraordinariamente grande, algo que ocurre incluso con ciertos valores moderados de D. Puede copiar la respuesta directamente a un sistema algebraico o a una biblioteca de precisión arbitraria sin redondearla antes.

Cómo encuentran la respuesta las fracciones continuas

El algoritmo desarrolla √D como una fracción continua simple periódica. Sus convergentes ofrecen aproximaciones racionales p/q cada vez más precisas de √D, y el numerador y el denominador de uno de ellos terminan cumpliendo p² − Dq² = 1. El solucionador actualiza el estado de la fracción continua y las dos recurrencias de convergentes mediante operaciones enteras deterministas.

Tras cada paso comprueba la identidad de Pell con aritmética BigInt y devuelve inmediatamente la primera solución positiva. Ese primer convergente válido es la solución fundamental; por tanto, la herramienta no necesita recorrer pares enteros arbitrarios ni adivinar un límite para x e y. El recuento de iteraciones indica cuántos convergentes se probaron, incluida la parte entera inicial de √D.

Este campo permite comparar longitudes de período o examinar el rendimiento, pero no altera el resultado matemático. La prueba final de la identidad no utiliza aproximaciones numéricas. La raíz cuadrada ordinaria solo determina el suelo entero exacto para el D acotado; todos los valores potencialmente grandes y todas las igualdades se calculan de forma exacta.

Cómo utilizar y comprobar los valores devueltos

Una respuesta correcta contiene d, x, y e iterations. En el código de su aplicación, trate x e y como cadenas de enteros decimales: los lenguajes con enteros de precisión arbitraria pueden interpretarlas directamente; los sistemas limitados a números de ancho fijo deben conservar las cadenas o emplear una biblioteca de enteros grandes. Para verificar el resultado de manera independiente, eleve x al cuadrado, reste D multiplicado por el cuadrado de y y confirme que el resultado sea exactamente uno.

Realice esa comprobación con aritmética entera, no con coma flotante. Los tipos no válidos, las fracciones, los valores fuera del intervalo publicado y los cuadrados perfectos generan un error de entrada no válida en lugar de un resultado engañoso. El solucionador no usa red, aleatoriedad, estado almacenado ni fecha actual, por lo que el mismo D siempre genera la misma respuesta.