Negative Pellsche Gleichung: Lösbarkeit und Minimallösung

Der Rechner für negative Pellsche Gleichungen ermittelt, ob x zum Quadrat minus D mal y zum Quadrat gleich minus eins für eine positive, nichtquadratische ganze Zahl D ganzzahlig lösbar ist. Ist die Gleichung lösbar, liefert er die kleinsten positiven Werte x und y exakt und ohne Gleitkommarundung. Zusätzlich nennt er die Periodenlänge des Kettenbruchs, die über die Lösbarkeit entscheidet.

Welche Frage die negative Pellsche Gleichung stellt

Die Gleichung x² − Dy² = −1 wirkt wie eine geringfügige Abwandlung der gewöhnlichen Pellschen Gleichung. Durch den Vorzeichenwechsel ist eine Lösung jedoch nicht mehr stets gewährleistet. D muss eine positive ganze Zahl sein, die kein vollständiges Quadrat ist; x und y werden unter den positiven ganzen Zahlen gesucht.

Andere nichtquadratische Werte besitzen überhaupt keine Lösung. Dieser Rechner unterscheidet beide Fälle und bestimmt bei vorhandener Lösung die minimale, also diejenige mit dem kleinsten positiven x. Da Pell-Lösungen weit über den sicheren Zahlenbereich von JavaScript und vielen Datenbanken hinauswachsen können, werden x, y und D als Dezimalzeichenfolgen ausgegeben.

Sie stehen für exakte ganze Zahlen und nicht für Näherungen. Das Feld solvable enthält die unmittelbare Entscheidung; bei einem falschen Wert fehlen die Lösungsfelder vollständig, statt irreführende Nullwerte oder erfundene Platzhalter zu enthalten. Ein quadratisches D wird abgelehnt, weil es nicht zum festgelegten Definitionsbereich dieses Werkzeugs gehört.

Wie Kettenbrüche über die Lösbarkeit entscheiden

Die Berechnung verwendet den periodischen einfachen Kettenbruch der Quadratwurzel aus D. Für jede positive, nichtquadratische ganze Zahl besitzt diese Entwicklung einen endlichen Wiederholungsblock. Ein klassischer Satz liefert ein eindeutiges Kriterium: Die negative Pellsche Gleichung ist genau dann lösbar, wenn dieser Block eine ungerade Länge hat.

Der Rechner erzeugt die Entwicklung ausschließlich mit ganzzahligen Rekursionen und nähert die Quadratwurzel niemals durch Gleitkommaarithmetik an. Bei jedem Näherungsbruch führt er Zähler und Nenner als Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit und prüft die Ausgangsgleichung direkt. Ergibt ein Näherungsbruch −1, sind sein Zähler und Nenner die minimalen positiven Werte x und y.

Schließt sich die Periode ohne einen solchen Bruch, ist ihre Länge gerade und es gibt nachweislich keine ganzzahlige Lösung. Das Verfahren liefert somit in einem Durchlauf eine überprüfbare Begründung und die gesuchte Lösung. Es ist deterministisch: Gleiche Eingaben durchlaufen stets dieselbe Rekursion und erzeugen dieselbe Ausgabe, ohne Netzwerk, Zufall, Uhrzeit oder regionale Zahlenformate.

Das Ergebnis sicher lesen und weiterverwenden

Geben Sie D als ganze Zahl im Feld d an. Kann der Wert den sicheren Ganzzahlbereich Ihrer Programmiersprache überschreiten, senden Sie ihn als exakte vorzeichenlose Dezimalzeichenfolge; der Rechenkern übernimmt diese Darstellung ohne Ziffernverlust. Mit einer Bibliothek für große Ganzzahlen können Sie das Ergebnis unabhängig durch x*x − D*y*y = −1 prüfen.

Bei Unlösbarkeit bleiben D und die Periodenlänge erhalten, x und y werden jedoch ausgelassen, weil keine Werte den Vertrag erfüllen könnten. Diese Unterscheidung eignet sich für Forschungsskripte, Lehrbeispiele und zahlentheoretische Abläufe: Prüfen Sie solvable, bevor Sie die Lösungsfelder auslesen. Brüche, negative Ganzzahlen, fehlende Eingaben und vollständige Quadrate führen zu einem typisierten Eingabefehler statt zu einer mathematischen Antwort.