相異なる部分の分割数
5を異なる部分に分ける方法は5、4+1、3+2の3通りです。0から5000までの整数を入れると、相異なる部分への分割の個数が、何桁になっても正確に分かります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- N
- 10
- 値
- 10
- 数量
- 10
- Q
- 10
相異なる部分への分割関数 q(n) は、数論の古典的な問い、すなわち非負整数 n を正の整数の和として、各和がたかだか一度しか現れず順序が問題にならないとき、何通りに書けるかを答えます。たとえば 5 は 5、4+1、3+2 と等しいので q(5) は三、6 は四通り、10 は十通りです。この個数は、2+2 や 1+1+1 のように部分の繰り返しを許す制限なし分割関数 p(n) とは異なります。相異なる部分の分割は母関数の恒等式、奇数部分の分割と同数であることを示すオイラーの定理、オリンピック問題、動的計画法の演習に現れます。本機能は非負整数 n を受け取り、BigInt による 0-1 ナップサック型動的計画法で計算した正確な q(n) を十進文字列として返すため、通常の安全整数を超える値でも桁ごとに正しく保たれます。負の n は黙ったゼロや誤答ではなく、明確な検証エラーで拒否されます。
相異なる部分への分割の定義と数え方
非負整数 n の相異なる部分への分割とは、n を正の整数の和として書く方法のうち、どの部分も繰り返されず、和の順序が無関係なものです。慣例として q(0) は一であり、零の空分割を数えます。
教科書の小さな値は q(1)=1（すなわち 1）、q(2)=1（すなわち 2）、q(3)=2（3 と 2+1）、q(4)=2（4 と 3+1）、q(5)=3（5、4+1、3+2）、q(6)=4、q(10)=10 です。
数列の通常の母関数は、k が 1 以上の無限積（1 に x の k 乗を加えたもの）であり、各正整数が部分として零回またはちょうど一回現れることを符号化します。ソフトウェアで実用的なアルゴリズムは古典的な 0-1 ナップサック型動的計画です。
和零を作る一通りで配列を初期化し、部分サイズ 1 から n までについて、残り和の配列を n からそのサイズまで降順に歩き、その部分を含めない場合の通り数を含める場合に加えます。降順により各部分はたかだか一度しか使われず、無制限の複数回利用は起きません。
関連するが別物の対象には、部分の繰り返しを許す制限なし分割 p(n)、順序が問題になる合成、第二種スターリング数で数えられる集合の分割、そしてオイラーが任意の n について相異なる部分の分割と同数であることを示した奇数のみの分割があります。本実装は浮動小数近似、モンテカルロ標本、外部表を使いません。一次元の BigInt 配列を埋めて各桁を正確に保ちます。
経路は完全に決定的で、乱数シード、時計、ネットワーク、モデル漂移がなく、同じ n は常に同じ文字列になります。
実務で相異なる部分の分割が現れる場面
数論の授業とプログラミングコンテストは、n の分割のうち和が互いに相異なるものが何通りか、その個数が制限なし p(n) とどう比べられるか、小さな値の表が奇数部分分割に関するオイラーの恒等式と一致するかを絶えず問います。
アルゴリズム設計者は 0-1 部分和型の状態空間を解析するとき、予算を満たす一意の資源サイズの組合せを数えるとき、たかだか一度使う部分サイズを次元に持つ DP 表を見積もるときに相異部分カウントを使います。
組合せ論と母関数の授業は q(n) を 1 に x の k 乗を加えた積や Rogers–Ramanujan 型の制限付き恒等式に結び付け、教育者はしばしば小さな n の相異分割を列挙したうえで個数だけを求めます。
面接対策とオリンピック訓練では、手製の表を保たず、合成や制限なし分割を誤って数えずに、信頼できる一つの q(n) が必要になることがよくあります。後で制限なし p(n)、順序が問題になる合成、第二種スターリング数による集合の分割、個数ではなく相異部分分割の明示リストが必要なら、このページを過負荷にせず別の検索意図として扱ってください。
無料枠の遅延を予測可能に保つため n を文書化された上限内に保ち、大きな引数では q(n) が安全整数範囲を出るため、返り値は文字列として扱うことを推奨します。
活用例
数論の宿題とコンテスト
オリンピック問題、離散数学の演習、相異なる部分への分割を求める自動解答キー向けに正確な q(n) を計算します。
0-1 ナップサックと部分和の解析
各部分サイズをたかだか一度使う整数 DP パイプライン内で、浮動小数表なしに相異部分カウントのフィクスチャを検証します。
オイラー恒等式の授業確認
母関数の指導や相異部分と奇数部分の個数比較で、q(5)=3 や q(10)=10 などの古典値を確認します。
よくある質問
相異なる部分への分割関数 q(n) とは何ですか？
q(n) は、部分が繰り返されず順序が問題にならないとき、n を正の整数の和として書く通り数を数えます。例: q(5)=3、q(10)=10。
制限なし分割 p(n) とどう違いますか？
制限なし p(n) は部分の繰り返しを許します（したがって 4 では 2+2 も数えます）。相異部分分割は繰り返しを禁じるため、4 は 4 と 3+1 の二通りだけです。
n が負の場合はどうなりますか？
本計算は n ≥ 0 を要求し、負の n は拒否され課金されません。
なぜ値は数値ではなく文字列なのですか？
相異部分の分割数は大きな n で JavaScript の安全整数を超えます。十進文字列は各桁を正確に保ちます。
5を相異なる部分に分割する方法はいくつですか？
3通りです。5そのもの、4+1、3+2です。2+2+1のように同じ部分が2回出る和は数えず、4+1と1+4は同じ分割として扱います。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/distinct-partitions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/distinct-partitions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/distinct-partitions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/distinct-partitions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/distinct-partitions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"n": 10
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.distinct_partitions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料のブラウザツールと有料 API は同一の純関数を共有するため、授業デモと自動パイプラインが同じ n で食い違うことはありません。
相異なる部分への分割の定義と数え方
宣言された範囲は n を 0 以上 5000 以下に保ち、無料のブラウザツールと軽量 Worker に適した最悪遅延を維持しつつ、コンテスト・教室・パイプラインでの正確な相異部分カウントの需要をカバーします。
送信内容と返り値
整数 n は 0 以上 5000 以下でなければなりません。成功時、応答には常に正規化された n、q(n) の同じ正確な十進文字列としての value・count・q、および表示用の短い式 q(5) などが含まれます。宿題と素早い確認には無料ブラウザツールを使い、相異部分カウントのフィクスチャを大量生成するときはスクリプトから同一契約を呼び出してください。必須の整数 n をフィールド n（別名 number、value、または N）で指定してください。欠落フィールド、非整数、小数、負の n は invalid_input で拒否され、課金されません。エラーメッセージは問題のフィールドと失敗した規則を示すため、フォームクライアントとスクリプトは推測なしで入力を直せます。例: n が 5 なら個数は 3、n が 10 なら個数は 10、n が 0 なら個数は 1、n が 6 なら個数は 4、n が 3 なら個数は 2、n が -3 ならこの積規則では負の引数に相異部分関数が定義されないため invalid_input、小数や非数値文字列も invalid_input です。契約は安定した JSON で、単体テスト、授業デモ、バッチパイプラインに適します。成功した API 呼び出しの料金は公開ベースの $0.002 毎件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。
実務で相異なる部分の分割が現れる場面
本機能は純 parse エンジンであるため、API 料金は成功した件ごとの公開ベース $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。
技術的な質問
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