数学

部分商3、7、15、1を入れると、近似分数3/1、22/7、333/106、355/113が得られ、どれも前のものよりπに近づきます。各段階は古典的な漸化式を正確な整数で計算します。ブラウザで無料で使えます。

15は不足数です。真の約数1、3、5の和は9で、15より小さいからです。正の整数を入れると、約数の正確な和と、不足数かどうかのはっきりした答えが分かります。ブラウザで無料で使えます。

平方数でないDについて、x² − Dy² = 1の最小の正の解を求めます。2ならx 3、y 2、61ならx 1766319049、y 226153980まで大きくなり、最後の桁まで正確です。ブラウザで無料で使えます。

n自身を除くnの正の約数をすべて、小さい順に個数とともに一覧にします。12なら1、2、3、4、6の5個です。完全数の確認、宿題の答え合わせ、大きさを等分する計算に使えます。ブラウザで無料で使えます。

10と共通の因数を持たない10以下の数は1、3、7、9で、その和は20です。正の整数を入力すると、この和とファイ関数の値、その元になる素因数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

4/13のエンゲル展開の分母は4、5、7、13で、1/4 + 1/20 + 1/140 + 1/1820になります。正の分数を入れると、小数の丸めなしで正確な展開が得られます。8/26でも同じ結果です。ブラウザで無料で使えます。

4と7の硬貨なら17より大きい金額はすべて支払えますが、17だけは作れません。互いに素な2つの値について、この支払えない最大の金額と、作れない金額の個数を求めます。切手の問題や数学コンテストの準備に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

2つのガウス整数を丸めなしで掛け算します。(3 + 2i)(1 − 4i) は 11 − 10i です。積を展開して i² を −1 に置き換え、実部と虚部を整数で返すので、整数論の演習や代数の検算に使えます。ブラウザで無料で使えます。

数を奇数の和として書く方法の数を数えます。10の奇数部分への分割は10通りで、オイラーの定理により、異なる部分に分ける方法の数も同じです。0から5000まで正確に求められます。ブラウザで無料で使えます。

nより大きいmと整数nから、ユークリッドの公式でピタゴラス数を作ります。mが2、nが1なら3-4-5の三角形です。原始的かどうかの判定と、a² + b² = c²の確認も表示されます。ブラウザで無料で使えます。

65は1² + 8²と2つの平方数の和で表せますが、3や7は決して表せません。整数を入力すると、判定結果と成り立つ組、フェルマーの定理で使う素因数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

1729は1³ + 12³と9³ + 10³の2通りで表せます。整数を入力すると、和がその数になる正の立方数の組をすべて表示し、なければ空の結果を返します。ブラウザで無料で使えます。

5番目のウッドオール数は5 × 2⁵ − 1 = 159で、3桁の数です。正の位置を入力すると、値が非常に大きくなっても正確なウッドオール数とその桁数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

5は16通りの順序付きの和で表せます。合成の個数は常に2^(n-1)だからです。nは10000まで入力でき、何千桁にもなる個数も正確に表示します。ブラウザで無料で使えます。

101の生成元は91と100の2つです。91 + 10も100 + 1も101になるからです。正の整数を入れると、生成元が小さい順にすべて表示され、ない場合は自己数だと分かります。ブラウザで無料で使えます。

数を各桁の和で割ると素数になるかを調べます。18の桁の和は9で、18÷9は2、2は素数なので18はモラン数です。各段階を表示するので、該当しない場合もその理由が分かります。ブラウザで無料で使えます。

数を2進法で書いたときの1の個数が素数かどうかを調べます。13は2進法で1101と書け、1が3個あるので悪意のある数です。2のべき乗は1が1個だけなので該当しません。ブラウザで無料で使えます。

p、p + 2、p + 6、p + 8の形をした4つの素数の組を上限まで一覧にします。最初の組は5、7、11、13で、最大の要素が上限に収まったときだけ数えます。同じ上限なら毎回同じ一覧です。ブラウザで無料で使えます。

素数の末尾の桁を1つずつ取り除いても素数のままかを判定します。3797からは379、37、3が得られ、すべて素数なので条件を満たします。各段階の数がそれぞれの結果とともに表示され、十五桁まで扱えます。ブラウザで無料で使えます。

619は逆さにしても619と読めるのでストロボグラム数ですが、10は回転で桁の順序が逆になるため該当しません。0以上の整数を入力すると、回転後の形と判定が分かります。ブラウザで無料で使えます。

5はウィルソン素数です。4! + 1 = 25で、5²でちょうど割り切れ、余りは0になります。素数を入力すると、正確な余りとこの珍しい条件を満たすかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

100234001では、数字0が4回、1が2回、2と3と4がそれぞれ1回現れます。0以上の整数を入れると、10個の数字の出現回数が決まった順序で分かります。ブラウザで無料で使えます。

234の各桁を掛けると24になります。2 × 3 × 4 = 24だからです。0または正の整数を入れると、各桁をちょうど1回ずつ使った積が1回の計算で分かります。ブラウザで無料で使えます。

4は2²と分解すると2桁になり、4自身の1桁より多いので浪費数です。2以上の整数を入力すると、両方の桁数と、浪費数・等桁数・経済数のどれに当たるかが並んで表示されます。ブラウザで無料で使えます。

ゴロム数列の任意の項をすぐに求めます。第10項は5、第20項は8です。1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4…と続くこの数列は、各値を自分の項が示す回数だけ並べます。課題や競技の答え合わせに役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

グレイコードの読み取り値を入力すると、表す数が分かります。0111は2進数の0101、つまり5に復号されます。先頭の0は保たれるので、固定幅のエンコーダーの値も比べやすくなります。ブラウザで無料で使えます。

数が回文になる基数をすべて表示します。基数16までなら、10は基数3、4、9でそれぞれ101、22、11と書けて回文になり、基数11以上ではすべて1桁の回文です。ブラウザで無料で使えます。

11は5番目の素数で、5も素数なので11は超素数です。7は4番目で、4は素数ではありません。数を入力すると、素数の中での順番と、その順番も素数かが分かります。ブラウザで無料で使えます。

最初の10個のウラム数は1、2、3、4、6、8、11、13、16、18で、10番目は18です。必要な項の数を入力すると、順に並んだ一覧と最後の値が分かります。ブラウザで無料で使えます。

直線が各軸と交わる点を入力すると、方程式のすべての形が得られます。切片が6と3なら、傾きは −0.5、切片形は x/6 + y/3 = 1、一般形は x + 2y = 6 です。ブラウザで無料で使えます。

解く前に、二次方程式の実数解がいくつあるかが分かります。x² − 5x + 6の判別式は25 − 24 = 1で正なので、異なる2つの実数解をもちます。ブラウザで無料で使えます。

放物線のy切片をすぐに求めます。f(x) = 2x² − 3x + 5のxに0を入れると定数だけが残るので、y軸との交点は(0, 5)です。ブラウザで無料で使えます。

2x + 4y = 6とx + 2y = 3は同じ直線です。標準形では後者だけを残し、係数を整数にして共通因数を除き、先頭の係数を正にそろえます。a、b、cを入力すると、その1つの式が分かります。ブラウザで無料で使えます。

底面の一辺が6、体積が144の正方形ピラミッドの高さは12です。この2つの値を入力すると、同じ単位系で垂直な高さが分かります。ピラミッド形の屋根やホッパー、砂山の計算に便利です。ブラウザで無料で使えます。

体積が約37.7、底面の半径が3の円錐の高さは4です。体積と半径を入力すると直円錐の垂直な高さが分かり、円錐の体積計算をちょうど逆にたどれます。ブラウザで無料で使えます。

100の階乗には素数5が24個含まれます。100を5で割ると20、20を5で割ると4で、20と4を足して24です。n と素数 p を入力すると、数回の割り算でこの指数を求めます。ブラウザで無料で使えます。

負の判別式に対する、簡約された原始的で正定値の形式ax² + bxy + cy²を一覧にします。−23では[1, 1, 6]、[2, −1, 3]、[2, 1, 3]の3つで、類数は3です。正確な整数計算だけを使います。ブラウザで無料で使えます。

0、0、0、1から始めて直前の4項を足し続けると、位置10の値は56になります。位置を入力すると、非常に大きな位置でも全桁を保ったまま正確なテトラナッチ数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

|2x − 6| > 4はx < 1またはx > 5のときに成り立ち、(−∞, 1) ∪ (5, ∞)と表せます。値は中央の範囲の外側にあります。不等式を入力すると、解の集合と境界の点が分かります。ブラウザで無料で使えます。

拡大係数行列[A|b]を入力すると、連立方程式の解が一つか無数か存在しないかが分かります。代表的な3元の例では解(2, 3, −1)が得られ、階数と簡約階段形も確認できます。ブラウザで無料で使えます。

x³ − 6x² + 11x − 6の判別式は4なので、異なる3つの実数解をもちます。4つの係数を入力すると、判別式とその符号、異なる実数解の個数が分かります。ブラウザで無料で使えます。

x² − 3x + 2は符号の変化が2回なので、正の実数解は2個か0個、負の実数解はありません。係数を次数の高い順に入力すると、解を探す前にありうる個数がすべて分かります。ブラウザで無料で使えます。

わかっている1組の値から比例定数と式が分かります。x が4、y が12 なら k は3で、y は x の3倍という式になり、x が7のとき y は21です。ブラウザで無料で使えます。

2x³ − 6x² + 2x − 1 の x が3のときの値は5で、途中の値（2、0、2、5）もすべて表示されるので、手書きのホーナー表と照らし合わせられます。ブラウザで無料で使えます。

放物線の頂点となる点を一度で求めます。f(x) = x² − 6x + 5はaが正で上に開くので、xが3のとき最小値−4をとります。ブラウザで無料で使えます。

4つの根を入力するだけで4次方程式に戻せます。根が1、2、3、4ならx^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = 0になります。重複する根や負の根、0もそのまま扱います。ブラウザで無料で使えます。

体積が約62.83、底面の半径が2の円柱の高さは5です。体積と半径を入力すると、体積を底面積で割った直円柱の高さが分かります。タンクや容器の設計に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

一辺が5の正七角形なら、周囲長は35、面積は約90.847811、内角はそれぞれ128.571429°です。幾何の宿題の確認や七角形のパネルの設計に役立ち、ブラウザで無料で使えます。

−2x + 4 < 8 と 3x − 1 ≤ 11 を同時に満たす範囲は(−2, 4]です。2つの不等式を入力し、両方か一方かを選ぶと、空集合や2つに分かれる場合も含めて区間で答えが分かります。ブラウザで無料で使えます。

整数の係数を3つ入力すると、3項式を正確に因数分解します。6x² + 5x + 1 は (2x + 1)(3x + 1) になります。整数係数の1次式に分けられない場合は、既約であると表示します。ブラウザで無料で使えます。

関数に定数を足すと、グラフがどう動くかが分かります。x² − 4x + 3 を5だけ移動すると g(x) = (x² − 4x + 3) + 5 となって5単位上がり、点 (2, −1) は (2, 4) に移ります。ブラウザで無料で使えます。

両方の多項式で割り切れる最小の多項式を求めます。x² − 3x + 2とx² − 1は共通因数x − 1をもつので、最小公倍数はx³ − 2x² − x + 2で次数は3です。ブラウザで無料で使えます。

(x^2 - 1)/(x - 1)はx + 1に約分できますが、元の分母を0にする値1は除外されたままです。共通因数をすべて打ち消し、定義域の穴も示します。ブラウザで無料で使えます。

(x - 1)/(x^2 - 4)のグラフがx軸と交わるのは(1, 0)だけです。分子の実数の零点をすべて求め、分母も0にする値を除くので、穴をx切片と取り違えません。ブラウザで無料で使えます。

x + y ≤ 6、x ≥ 0、y ≥ 0の領域は、頂点が(0, 0)、(6, 0)、(0, 6)の三角形です。すべての境界線と頂点を一覧にし、領域が多角形か、非有界か、空かを示します。ブラウザで無料で使えます。

底面の一辺が2、斜高が3の正六角錐の表面積は約28.392です。そのうち18が6つの三角形の側面で、残りが六角形の底面です。2つの長さを入れるだけで3つの面積が分かり、ブラウザで無料で使えます。

1号室から3号室に3人が泊まっていて2人が新しく来ると、全員が2部屋ずつ移り、1号室と2号室が空きます。名簿と到着人数を入れるだけで、各宿泊客の新しい部屋が分かります。ブラウザで無料で使えます。

3 + 4iの逆数は0.12 − 0.16iです。絶対値の二乗が25になるためです。実部と虚部を入力すると、1/zが直交形式で分かり、複素数の割り算にそのまま使えます。ブラウザで無料で使えます。

−3 + 4iの絶対値は5、偏角は126.869897645844°です。実部と虚部を入力し、ラジアンか度を選ぶと、r、θ、三角関数表示がすぐに得られます。ブラウザで無料で使えます。

一定の割合で増え続けるとどうなるかが分かります。1000が1期間に5%ずつ10期間増えると1628.89462678になり、1期間の倍率1.05と累積の倍率も表示されます。人口や細胞、会員数などに使えます。ブラウザで無料で使えます。