多項式の最小公倍数計算機
両方の多項式で割り切れる最小の多項式を求めます。x² − 3x + 2とx² − 1は共通因数x − 1をもつので、最小公倍数はx³ − 2x² − x + 2で次数は3です。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 1つ目のテキスト
- 1, -3, 2
- 2つ目のテキスト
- 1, 0, -1
- Gcd
- 1, -1
- 積
- 1, -3, 1, 3, -2
- Lcm
- 1, -2, -1, 2
- 最小公倍式の次数
- 3
この計算機は、次数の高い順に並べた密な係数配列から、2 つの多項式の最小公倍数を求めます。まずユークリッドの互除法でモニックな最大公約数を計算し、元の多項式同士を掛け、その積を共通因子で割ります。非零の定数倍が異なる入力でも答えが一定になるよう、結果もモニックに正規化します。入力、最大公約数、積、最小公倍数、読みやすい式、互除法の手順数を返します。ネットワーク、乱数、時刻に依存しない決定的な計算です。
多項式の最小公倍数が表すもの
零でない 2 つの多項式の最小公倍数とは、両方で割り切れる最小次数の多項式を、零でない定数倍の違いを同一視して定めたものです。その定数は任意なので、本計算機は先頭係数が 1 のモニックな代表を返します。入力は最高次から定数項まで並べた密な配列です。
たとえば [1, -3, 2] は x^2 - 3x + 2、[1, -1] は x - 1 を表します。第 2 の多項式が第 1 を割り切る場合、最小公倍数は第 1 のモニック形です。互いに素なら最大公約数は 1 で、最小公倍数は積のモニック形になります。
一方だけが零なら結果は零多項式です。[0] と [0] の組は、この仕様では gcd(0, 0) が未定義なので受け付けません。先頭の零係数は次数や演算を求める前に除去します。
結果には最大公約数、積、最小公倍数の係数配列と読みやすい式が含まれるため、プログラムにも筆記計算の確認にもお使いいただけます。
積を最大公約数で割る計算方法
計算には lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)) という恒等式を用います。最初に係数ベクトルへユークリッドの互除法を適用します。各段階で多項式の長除法から余りを求め、直前の除数とその余りを次の組にします。
零でない余りの次数は必ず下がるため、処理は限られた回数で終了します。最後の除数は先頭係数が 1 になるよう調整します。続いて係数の畳み込みで完全な積を作り、2 回目の長除法でモニックな最大公約数を除き、共有因子の重複を 1 つずつ取り除きます。
最後に商もモニックにします。途中の最大公約数と積も返すので、恒等式をご確認いただけます。浮動小数点演算の微小な残差は固定許容値で零とみなし、指定精度は表示結果だけを丸めます。
係数は有限数、最大次数は 64、絶対値にも上限があります。
多項式の最小公倍数を使う場面
複数の有理式を通分するとき、多項式の最小公倍数が必要になります。各分母を手作業で因数分解する方法は学習に役立ちますが、因子が重複する場合や展開済みの係数配列では誤りやすくなります。最小公倍数なら、共有因子を余分に重ねず、必要な最大の重複度で各因子を含む分母を得られます。
多項式合同、初等代数の演習、線形漸化式の作用素、数式ソフトウェアのテストにも利用できます。教員の方は最大公約数と積も示す解答例を作成でき、学習者の方は因数分解による答えと係数計算を比較できます。本ツールは既約因数分解、根の計算、長除法の各行の表示は行いません。
それらが目的の場合は専用機能をご利用ください。
活用例
共通分母を作成する
有理式を加算または比較する前に、両方の分母で割り切れる最小の多項式分母を求めます。
代数問題を確認する
手計算の最小公倍数を検算し、共有因子を 1 つ除く根拠となる最大公約数と積を確認します。
決定的なテストデータを作る
多項式ライブラリや学習ソフトのテスト向けに、安定した係数配列と読みやすい式を生成します。
よくある質問
多項式の最小公倍数はどのように計算しますか？
互除法でモニックな最大公約数を求め、入力同士を掛け、その積を最大公約数で割って商をモニックにします。
多項式はどのように入力しますか？
次数の高い順の密な係数配列をご指定ください。たとえば [1, -3, 2] は x^2 - 3x + 2 を表します。
答えをモニックにするのはなぜですか？
多項式の最小公倍数は零でない定数倍を除いて一意です。先頭係数を 1 にすると表現を統一できます。
一方がもう一方を割り切るときはどうなりますか？
最小公倍数は大きいほうの多項式を、最高次係数が1になるようにそろえたものです。共通因数がまったくなければ、2つの積をそろえたものが答えです。
片方が0の多項式だとどうなりますか？
ちょうど一方だけが0なら、結果は零多項式です。どの多項式も0を割り切るためです。両方とも0の組は計算できないため受け付けません。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_lcm",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_degree | 64 |
max_abs_coefficient | 1000000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
ブラウザーでは無料で確認でき、API は正常なリクエスト 1 件につき $0.002 でご利用いただけます。
積を最大公約数で割る計算方法
この制約により全ループが有限となり、Infinity や NaN を含む曖昧な JSON を防ぎます。
多項式の最小公倍数を使う場面
開発者の方は、多項式ライブラリ、記号計算画面、学習アプリのテスト用に決定的な JSON を得られます。ブラウザーと API は同じ純粋関数を実行するため、対話的な確認を意味の変更なく自動処理へ移せます。正常な API 計算は $0.002 です。
技術的な質問
一方の多項式が零の場合はどうなりますか。
最小公倍数は [0] です。両方が零の場合は gcd(0, 0) が本仕様で未定義のため、リクエストを受け付けません。
料金はいくらですか。
ブラウザーでの計算は無料です。正常な API リクエストは $0.002 で、無効な入力には課金されません。