Calculadora de MMC de polinômios usando o MDC
Obtenha o menor polinômio que os dois dividem: x² − 3x + 2 e x² − 1 têm x − 1 em comum, então o MMC é x³ − 2x² − x + 2, de grau 3. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Primeiro texto
- 1, -3, 2
- Segundo texto
- 1, 0, -1
- Gcd
- 1, -1
- Produto
- 1, -3, 1, 3, -2
- Lcm
- 1, -2, -1, 2
- Grau do mínimo múltiplo comum
- 3
Esta calculadora encontra o MMC de dois polinômios informados como listas densas de coeficientes em grau decrescente. Primeiro, calcula o MDC mônico pelo algoritmo de Euclides; depois multiplica os polinômios e divide o produto pelo fator comum. O resultado é normalizado para manter uma resposta consistente mesmo quando fatores escalares mudam. A saída inclui entradas, MDC, produto, MMC, formas legíveis e número de etapas. Tudo é determinístico, sem rede, aleatoriedade ou relógio.
O significado do MMC de polinômios
O mínimo múltiplo comum de dois polinômios não nulos é o polinômio de menor grau divisível por ambos, considerado até um fator constante diferente de zero. Como esse fator é arbitrário, a calculadora devolve o representante mônico, cujo coeficiente líder é um. As entradas são listas densas, da maior potência ao termo constante.
Assim, [1, -3, 2] representa x^2 - 3x + 2, enquanto [1, -1] representa x - 1. Se o segundo polinômio já divide o primeiro, o MMC é a forma mônica do primeiro; se forem coprimos, o MDC é um e o MMC é a forma mônica do produto. Se apenas uma entrada for zero, o resultado será o polinômio zero.
O par [0] e [0] é rejeitado, pois gcd(0, 0) não é definido neste contrato. Zeros iniciais são removidos antes dos cálculos. A resposta apresenta listas e expressões legíveis para MDC, produto e MMC, atendendo tanto código quanto conferências de álgebra escrita.
Como o produto dividido pelo MDC é calculado
O algoritmo segue lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). Ele começa com o cálculo euclidiano do MDC sobre vetores de coeficientes. Em cada etapa, a divisão longa produz um resto; o divisor anterior e esse resto formam o próximo par.
Como todo resto não nulo tem grau menor, o processo termina dentro de um limite conhecido. O último divisor é escalado para que o coeficiente líder seja um. Em seguida, a convolução dos coeficientes forma o produto completo, e uma segunda divisão longa divide esse produto pelo MDC mônico, removendo uma cópia de cada fator compartilhado.
Por fim, o quociente é normalizado. O MDC e o produto intermediários são retornados para você conferir a identidade. Uma tolerância fixa elimina pequenos resíduos de ponto flutuante, e a precisão solicitada arredonda apenas a resposta exposta.
Quando usar uma calculadora de MMC polinomial
O MMC de polinômios aparece quando várias expressões racionais precisam de um denominador comum. Fatorar cada denominador à mão é didático, mas pode causar erros quando há fatores repetidos ou listas de coeficientes já expandidas. O MMC inclui cada fator na maior multiplicidade exigida, sem duplicar fatores compartilhados.
A operação também ajuda em congruências polinomiais, exercícios de álgebra, operadores de recorrência e testes de programas algébricos. Professores podem criar gabaritos que mostram MDC e produto junto do resultado. Estudantes podem comparar uma solução fatorada com o cálculo por coeficientes.
A ferramenta não fatora em irredutíveis, não encontra raízes nem mostra cada linha da divisão; use uma capacidade específica quando essas etapas forem o objetivo.
Casos de uso
Montar denominadores comuns
Encontre o menor denominador polinomial divisível por ambos antes de somar ou comparar expressões racionais.
Conferir exercícios de álgebra
Valide um MMC manual e examine o MDC e o produto que justificam remover uma cópia dos fatores comuns.
Criar casos de teste determinísticos
Gere listas estáveis e expressões legíveis para testes de bibliotecas polinomiais e programas educacionais.
Perguntas frequentes
Como o MMC de polinômios é calculado?
A calculadora encontra um MDC mônico por Euclides, multiplica as entradas, divide o produto por esse MDC e normaliza o quociente.
Como informar um polinômio?
Use uma lista densa de coeficientes em grau decrescente. Por exemplo, [1, -3, 2] representa x^2 - 3x + 2.
O que ocorre quando um polinômio é zero?
O MMC retorna [0]. Se ambos forem zero, a solicitação é rejeitada porque gcd(0, 0) não é definido neste contrato.
Por que a resposta é mônica?
MMC de polinômios é único apenas até um fator constante não nulo. Definir o coeficiente líder como um cria uma representação consistente.
E se um polinômio já divide o outro?
Nesse caso o MMC é simplesmente o maior dos dois, ajustado para começar por 1. Se não houver nenhum fator em comum, a resposta é o produto deles, também com coeficiente líder 1.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_lcm",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_degree | 64 |
max_abs_coefficient | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Você pode usar o navegador gratuitamente ou chamar a API por US$ 0,002 em cada solicitação válida.
Como o produto dividido pelo MDC é calculado
Os coeficientes devem ser finitos, o grau máximo é 64 e a magnitude é limitada, mantendo todos os laços finitos e impedindo JSON ambíguo com Infinity ou NaN.
Quando usar uma calculadora de MMC polinomial
Desenvolvedores recebem JSON determinístico para testes de bibliotecas, interfaces simbólicas e aplicativos educacionais. O navegador e a API executam a mesma função pura, portanto uma conferência interativa pode virar uma solicitação automática sem mudar a semântica. Um cálculo válido pela API custa US$ 0,002.
Perguntas técnicas
Qual é o custo?
O cálculo é gratuito no navegador. Uma solicitação válida pela API custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.